三角函数的图像与性质(.docVIP

第3讲　三角函数的图像与性质 最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) 对称轴方程 x＝kπ＋eq \f(π,2) x＝kπ 无 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sin eq \f(π,6)知，eq \f(2π,3)是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(　　) (2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (5)y＝sin|x|是偶函数.(　　) 解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z). (2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (3)正切函数y＝tan x在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. (4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A.y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B.y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x 解析　y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝ －sin 2x是最小正周期为π的奇函数；y＝sin 2x＋cos 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))是最小正周期为2π的非奇非偶函数. 答案　B 3.(2017·郑州模拟)若函数f(x)＝sineq \f(x＋φ,3)(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　) A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,2) D.eq \f(5π,3) 解析　由已知f(x)＝sineq \f(x＋φ,3)是偶函数， 可得eq \f(φ,3)＝kπ＋eq \f(π,2)， 即φ＝3kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)， 又φ∈[0，2π]，所以φ＝eq \f(3π,2). 答案　C 4.函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b