全国高考乙卷（文理科）第19题分析及启示.docx

? ? 全国高考乙卷（文理科）第19题分析及启示 ? ? 广州市执信中学（510080） 刘诗顺 华南师范大学数学科学学院（510631）　苏洪雨 ? 2016年全国高考乙卷（文理科）第19题分析及启示 广州市执信中学（510080） 刘诗顺 华南师范大学数学科学学院（510631）苏洪雨 一、题目 （理科）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 图1　 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列； （II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ （文科）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 图2　 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若n=19，求y与x的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求N的最小值； （III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 二、解答赏析 理科（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.X的可能取值为：16,17,18,19,20,21,22，从而 P（X=16）=0.2×0.2=0.04； P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16； P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24； P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24； P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2； P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08； P（X=22）=0.2×0.2=0.04. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 ......................................................5分 （2）由（1）知P（X≤18）=0.04+0.16+0.24=0.44，P（X≤19）=0.04+0.16+0.24+0.24=0.68，故n的最小值为19...............................................8分 （3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n=19时， 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19..........................12分 评析 在第（1）问中，柱状图反映的是100台机器三年内更换的易损零件数的频率，以此频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，从而才能得到一台机器在三年内更换的易损零件数为8，9，10，11的概率，有些同学不能读懂题意而导致错误.2台机器三年内更换的易损零件数X的情况多达8种，平常练习中X的取值一般只有4-5种，故题目的难度一下子增大. 在第（2）问中，式子P（X≤n）≥0.5中两个字母，两个不等号，平常这种题训练较少，理解起来有一定的困难，就算理解了，但又不知道怎样用数据来说理. 在第（3）问中，题目要求是以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，而不是以易损零件数的个数X的期望值为依据，有些同学习惯性的直接求X的数学期望值而造成错误.另外两种解法供参考. 第三问方法一购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，所需费用的期望为： 当n=20时，所需费用的期望为： 所以应选用n=19. 第三问方法二购买零件所需费用包括两部分，一部