计数原理、排列组合的题目型与方法.docx

实用标准文案 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 计数原理、排列组合题型与方法 ☆基本思路：大的方向分类，类中可能有步或类 例 1：架子上有不同的 2 个红球，不同的 3 个白球，不同的 4 个黑球.若从中取 2 个不同色的球，则取法种数为 . 解：先分类、再分步，共有取法 2×3＋2×4＋3×4＝26 种.故填 26. 例 1 例 1：如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( ) A．11 种 C．21 种 B．20 种 D．12 种 解：分两步，第一部分接通，则可能有一个接通或者两个都接通，有 3 种可能；第二部 分接通，则可能恰有一个接通或恰有两个接通或者都接通，有 7 种可能。从而总共有 3 7=21 种方式。 ☆基本思路：排除法间接求解 例 1：(2013·济南模拟)电路如图所示，在 A，B 间有四个开关，若发现 A，B 之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有 ( ) A.3 种 B.8 种 C.13 种 D.16 种 解：各个开关打开或闭合有 2 种情形，故四个开关共有 24 种可能，其中能使电路通的情形有：1，4 都闭合且 2 和 3 中至少有一个闭合，共有 3 种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有 24－3＝13(种).故选 C. ☆剔除重复元素 例 1：(2013·四川)从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到 lga－lgb 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 a 1 3 3 9 解：lga－lgb＝lg ，而 ＝ ， ＝ ，故所求为 A2－2＝18 个，故选 C. b 3 9 1 3 5 ☆投信问题 例 1：将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有( ) A.53 种 B.35 种 C.3 种 D.15 种 解：第 1 封信，可以投入第 1 个邮筒，可以投入第 2 个邮筒，也可以投入第 3 个邮筒， 共有 3 种投法；同理，后面的 4 封信也都各有 3 种投法.所以，5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 35 种.故选 B. 例 2：有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) 每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法 36＝729(种)． 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法， 第二个项目有 5 种选法，第三个项目只有 4 种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 6×5×4＝120(种)． 由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63＝216(种)． ☆数字排列问题 例 1：用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数. 可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的四位偶数？ 解：(1)直接法：A1A3＝300； 间接法：A4－A3＝300. 5 5 6 5 由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是 0，因此该四位数的个 位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0 既是偶数，又不能排在千位，属“特殊元素”，应重点对待. 5解法一：(直接法)0 在个位的四位偶数有 A3个；0 不在个位时，先从 2，4 中选一个放在 5 个位，再从余下的四个数(不包括 0)中选一个放在千位，应有 A1A1A2个. 综上所述，共有 A3＋A1A1A2＝156(个). 2 4 4 5 2 4 4 解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有 A1A3 3 5 个，其中千位是 0 的有 A1A2个，故适合题意的数有 A1A3－A1A2＝156(个). 2 4 3 5 2 4 点拨： 本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件 0 不能在首位. 例 2：用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个(用数字作答)． 解析 数字 2，3 至少都出现一次，包括以下情况： 444“2”出现 1 次，“3”出现 3 次，共可组成 C1＝4(个)四位数． “2”出现 2 次，“3”出现 2 次，共可组成 C2＝6(个)四位数． “2”出现 3 次，“3”出现 1 次，共可组成 C3＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成 14 个这样的四位数． 4 4 4 例3：(2014·武汉模拟)如果正整数M 的各位数字均不为4，且各位数字之和为6，则称M 为“