2023年复变函数复习.pdf

《复变函数与积分变换》综合复习 （一）内容与要求提要 ▲第一章内容介绍：复函数 1．复数的定义 2．复数的不同表示方法，相互转换 数学运算方法，开方与乘方 几何意义，不唯一性 3．复球面与复平面 4．复变函数，极限与连续性 ◇要求掌握的要点 →不同的表示方法、运算方法、不唯一性 →化简、求值、解复函数方程、求极限 →判断定义域、连续性、开闭性、有界性、幅角 →证明  ☆注意：实数范围与复数范围的区别，例 3 8 2e2k i 3 2 ▲第二章内容介绍：复导数 1．解析函数的概念 2．求导的法则与方法 3．CR 方程的条件与作用 用 CR 求解析函数的方法 CR 与调和函数的关系 4．初等复变函数，基本性质 ◇要求掌握的要点 →可导的判别方法、计算方法 →调和函数的判别方法、计算方法 →常用初等复函数的基本性质 ☆注意：不连续、奇点、可导、解析的概念。 ▲第三章内容介绍：复积分 1．复积分的概念与基本性质 2．柯西积分定理（复合） 3．原函数与不定积分的概念 4．柯西积分公式、高阶导数公式 5．解析函数与调和函数的性质 ◇要求掌握的要点 →一般复积分的计算方法 →不定积分的计算方法 →柯西积分定理（复合）与柯西积分公式（高阶导数公式）的灵活运用 ☆注意：奇点的位置。 ▲第四章内容介绍：复级数 1．复级数的概念与基本性质 2．幂级数与泰勒展开 3．洛朗级数及其性质 ◇要求掌握的要点 →级数收敛性判别方法、收敛半径的估计、级数的求和方法 原函数与不定积分的概念柯西积分公式高阶导数公式解析函数与调和函数的性质要求掌握的要点一般复积分的计算方 →幂级数的展开方法（间接方法） →洛朗级数与展开方法（间接方法） ☆注意：何处展开？在某点展开，在区间展开，展开成何种形式等。 ▲第五章内容介绍：留数（复广义积分） 1．奇点与留数的概念与基本性质 2．留数定理 3． ◇要求掌握的要点 →留数的计算方法 →一般复积分的计算方法 ☆注意： ▲第六章内容介绍：富里叶变换 1．富里叶变换的定义与富里叶积分、物理含义 2．函数与性质 3．富里叶变换的性质 4．逆变换的性质与求法 5．卷积的意义与作用 ◇要求掌握的要点 →富里叶变换的计算方法、一些常见函数的变换对 数的关系初等复变函数基本性质要求掌握的要点可导的判别方法计算方法调和函数的判别方法计算方法常用初等复函 → 函数在变换中的作用 →利用变换性质求变换的方法 →逆变换的求法 →卷积等的应用 →利用变换法计算积分、证明等式、求解方程  ☆注意：积分等于时不代表积分不存在，也许它等于 ？ ▲第七章内容介绍：拉普拉斯变换 1．拉普拉斯变换的定义与存在性 2．拉普拉斯变换的性质 3．逆变换 ◇要求掌握的要点 →拉普拉斯变换的求解方法 →利用变换性质求变换的方法 →逆变换的求法 →卷积等的应用 运算方法不唯一性化简求值解复函数方程求极限判断定义域连续性开闭性有界性幅角证明注意实数范围与复数范围的 →利用变换法计算积分、证明等式、求解方程 ☆注意： （二）考点提示 ▲内容提示： 1．为了后续课程《数学物理方程》，积分变换考题在 40-50 分以上。 2．每章有考试内容顾及。 3．与高等数学相同部份的内容与方法考题相对较少。