人教A版高中数学必修第二册6-3-1平面向量基本定理课件.ppt

第六章　平面向量及其应用 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 学习目标 素养要求 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义 数学抽象 2．会用基底表示平面向量 数学运算 | 自 学 导 引 | 　　　　平面向量基本定理 1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个___________，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_________． 2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做这一平面内_________的一个________． 不共线向量　 λ1e1＋λ2e2　 所有向量　 基底　 (1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？ (2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？ 【提示】(1)不共线性和不唯一性． (2)若向量e1，e2共线，则λ1e1＋λ2e2与向量e1，e2共线，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示与向量e1，e2共线的向量，无法表示平面内其他的向量． 【预习自测】 　　　　平面向量基本定理的唯一性 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 ________． 【预习自测】 设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求实数x，y的值． | 课 堂 互 动 | (2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)． ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0． 【答案】(1)AC　(2)②③ 【解析】(1)如图所示，A，C中的向量不共线，可 以作为基底，B，D中的向量共线，不能作基底． (2)由平面向量基本定理可知，①④是正确的； 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． (2)若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________． 【答案】(1)B　(2)0　0 用两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法 (1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 题型3　平面向量基本定理的应用 　　　　如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． (2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底， 当λ1e1＋λ2e2＝0时 恒有λ1＝λ2＝0 若a＝λ1e1＋λ2e2 当λ2＝0时，a与e1共线 当λ1＝0时，a与e2共线 λ1＝λ2＝0时，a＝0 易错警示　对基底的定义理解不准确致误 　　　　已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是 (　　) A．λ＝0　 B．e2＝0 C．e1∥e2　 D．λ＝0或e1∥e2 错解：A，B，C 易错防范：一定要注意“不共线”这个条件在做题时容易忽略此条件而致错，同时还要注意零向量不能作为基底． 正解：若e1，e2共线，即e1∥e2时，易得a与b共线； 若e1，e2不共线，要使a与b共线，则存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0． 当λ＝0或e1∥e2时，a与b共线．故选D． | 素 养 达 成 |