人教A版高中数学必修第二册8-6-1直线与直线垂直课件.ppt

第八章　立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 学习目标 素养要求 借助长方形，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系；会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，并求出该角 直观想象、逻辑推理、数学运算 | 自 学 导 引 | 　　　异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间______一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的______(或______)． 2．异面直线所成角θ的范围：_____________．特别地，当θ＝______时，a与b互相垂直，记作______． 任意　 锐角　 直角　 0°＜θ≤90°　 90°　 a⊥b　 【预习自测】 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中异面直线 A′B′与BC所成的角为______；异面直线AD′ 与BC所成的角为______． 【答案】90°　45° 【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∵∠ABC＝90°．∴A′B′与BC所成的角为90°．∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角． ∵∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°． | 课 堂 互 动 | 题型1　异面直线的判断 　　　　如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对． 【答案】3 【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对． 异面直线的判定方法 (1)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． (2)先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，推出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 1．有下面四个命题： ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b异面； ④若空间三条直线满足a⊥b，b∥c，则a⊥c． 其中真命题的序号为________． 【答案】④ 【解析】①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c三种位置关系都可能有，所以①不正确；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c三种位置关系都可能有，所以②不正确；③由空间直线的位置关系和c与b可能异面或相交，所以③不正确；④因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c，所以④正确． 题型2　异面直线所成的角 　　　　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 解：(1)如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角． 又因为在△BEF中，∠EBF＝45°， 所以BE与CG所成的角为45°． (2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB． 又因为HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形． 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形． 又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°． 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． 提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°． 2．如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角． 题型3　异面直线垂直的证明 　　　　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D． 证明：如图，连接BD交AC于点O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1． 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角． 连接AE，CE，易证AE＝CE． 又因为O是AC的中点，所以AC⊥OE． 所以AC⊥B1D． 证明两异面直线垂直的方法 (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直