5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（基础知识+基本题型）（含解析）--一堂好课高一数学上学期同步课堂（人教A版必修第一册）.docx

5. 4.2正弦函数、余弦函数的性质 （基础知识+基本题型） 知识点一 周期函数 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期T并不唯一，若周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，我们便称这个数为最小正周期，以下我们说的周期一般指最小正周期. 【拓展】 （1）周期函数的定义是对定义域中的每一个来说的，只有个别的的值满足不能说T是的周期. （2）从等式“”来看，应强调的是自变量本身加的非零常数T才是周期，例如恒成立，但T不是的周期，若写成，则是的周期. （3）如果T是函数的周期，那么也一定是函数的周期. （4）周期函数的定义域不一定是R，但是一定是无限集. （5）对于周期函数来说，并不是所有的函数都有最小正周期，如函数. 【拓展】求三角函数的周期的常见方法 （1）公式法：对于或（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），. （2）观察法（图象法）：画出函数图象，观察图象可得函数周期. 知识点二 正弦函数、余弦函数的性质 函数 图象 定义域 R R 值域 [－1, 1] [－1, 1] 周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间（）上都是增函数；在每一个闭区间（）上都是减函数 在每一个闭区间[(2k－1)π, 2kπ]（）上都是增函数；在每一个闭区间[2kπ, (2k＋1)π]（）上都是减函数 最值 当（）时，ymax＝1； 当（）时，ymin＝－1 当x＝2kπ（）时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π（）时，ymin＝－1 图象的对称性 对称中心（kπ, 0）（）， 对称轴（） 对称中心（）， 对称轴x＝kπ（） 【拓展】 （1）正弦函数（余弦函数）不是定义域上的单调函数.另外，说“正弦函数（余弦函数）在第一象限内是增(减）函数”是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍. （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值. （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0. 考点一 函数的奇偶性问题 【例1】若函数（）是R上的偶函数,则φ可以等于 A. 0 B. C. D. 解析：因为，而是R上的偶函数，所以，故选C. 答案：C 总结：判断一个函数或者是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或中的一个。 （1）要使为奇函数，则； （2）要使为偶函数，则； （3）要使为奇函数，则； （4）要使为偶函数，则。 考点二 函数的周期性、对称性与单调性问题 【例2】 已知函数 。 求函数的周期； 求函数的对称轴与对称轴中心； 求函数的单调区间。 解：（1）由，得，所以。① （2）令，② 得。 所以函数的对称轴为。 令③得. 所以函数的对称中心为。 当时，④ 函数单调递增，故函数的单调递增区间是； 当时， 函数单调递减，故函数的单调递减区间是。 【例3】 已知，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。 分析：先根据x的范围确定的范围，从而确定的取值范围，再假设存在这样的有理数，a,b最后分a＞0和a＜0两种情况讨论求解。 解：因为，所以， 所以， 假设存在这样的有理数a,b，则 当a＞0时， 解得a＝1，b＝（不合题意，舍去）； 当a＜0时， 解得a＝－1，b＝1. 故a,b存在，且a＝－1，b＝1. 【解后反思】在求解探究性问题时，先假设结论成立，再看推理过程中是否产生矛盾，最后得出肯定或否定的结论。