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第十七届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·诸暨 高一年级 第一天 2020 年8 月5 日 下午1:30-5:30 1. 已知二次函数 () = (3 + 2) 2 − 2 (2 + ) + 2 + ( + )2 | | （, , ∈ ）.假设对于任意 ∈ 都有 () ≤ 1，求 的最大值. 2.如图，在△ 中， < ， 和是△ 的外接圆 的切线.是 ⏜ 弧 上的一个点，与圆 的另一个交点为.是△ 的内心， ⊥ 于点 ，与圆 的另一个交点为.过点且与 垂直的直线与 , 分别相交于点 , . 证明：若// ，则 , , , 四点共圆. A R O N G I M C B D Q P 3．设多项式 () = 2020 + ∑2019 ，其中 ∈ {−1,0, 1}.记为 () = 0正 =0 整数根的个数（含重根）.若 () = 0无负整数根，求 的最大值. 4.设 ,  ,  ⋯ ,  是1,  2,  ⋯ , 17的一个排列，且满足 1 2 17 ( − ) ( − ) ⋯ ( − ) ( − ) = 17. 1 2 2 3 16 17 17 1 求正整数 的最大值． 第十七届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·诸暨 高一年级 第二天 2020 年8 月6 日 上午8:00-12:00 { } { | } 1. 集合 = 1 , 2 , ⋯ , 2020 . 称 = ( , ) = ( + ) + , ∈ ∩ 为“吴”集合， = { ( , ) = ( + ) ⋅ |, ∈ } ∩ 为“越”集合， = ∩ 为“西子”集合．试求 “西子”集合中最大数与最小数之和. ∘ 2. 如图，在四边形 中，∠ = ∠ < 90 . 以 为直径的圆与边  ,  的另一个交点分别为 ,  . 为 的中点， ⊥ 于点. 证明： ,   ,   ,   四点共圆. A