解析几何简化运算的技巧探究与思考-《数学教学通讯·高中版》(2020年6期).docx

龙源版权所有 解析几何简化运算的技巧探究与思考作者：曾庆文来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第06期 [摘 要] 解析几何问题的运算量较大，常给学生的解题造成困惑，因此解题时应尽可能地采用简化运算的技巧，降低思维难度，提高解题效率. 文章深入探讨定义法、设而不求、数形转化、参数法简化运算的思路，并开展相应的教学思考. [关键词] 解析几何;简化;含义;设而不求;数形转化;参数法 高中数学常将曲线置于坐标系中，利用解析式来研究其性质，这也是解析几何内容研究的重要方法. 其中的解析式可以为代数，也可以是函数、对数等，在研究曲线性质时具有一定的优势，但有时分析思路复杂、运算量过大，极大地影响解题效率，实则在解析问题时可以采用一定的简化技巧，下面举例探究. 关于简化运算的技巧探究 解析几何中简化运算的技巧有很多，例如常见的定义法、设而不求、数形转化、巧设参数等，实际运算时可以结合具体问题合理选用简化技巧，在确保结果正确的前提下降低思维难度. 技巧一：回归定义 定义是圆锥曲线的本质属性，对于某些与曲线属性相关的解析几何问题可以考虑采用定义法来转化问题，构建思路.实际解题可以结合曲线图像，在曲线定义的基础上开展性质、结论探究. 例1：已知椭圆C的解析式为+=1，F1为椭圆的左焦点，直线l经过点F1且倾斜角为60°，与椭圆C的交点为A和B，如果FA=2FB，则椭圆C的离心率为__________. 分析：本题目为求椭圆离心率的填空题，常规解法是联立椭圆与直线的方程，然后结合其中的等量条件进行转化. 但按照该思路求解的运算量过大，此时可以考虑回归椭圆定义，结合平面几何知识简化运算. 评析：本题巧妙地利用了椭圆的定义，结合其中的几何性质构建了相应的等量关系，从而转化出椭圆的离心率，有效地降低了计算量.定义法在求解周长、面积、最值等问题中均有着广泛的应用，在实际学习时需要归总椭圆、双曲线、抛物线等曲线的核心定义， 技巧二：设而不求 设而不求是简化运算的常用技巧，尤其适用于解析几何中曲线与直线的相交问题. 实际求解时设出交点坐标、联立方程后，可以不求交点坐标，而利用整体思想，利用韦达定理进行整体化简，从而达到简化过程的效果. 例2：已知椭圆C的解析式为4x2+9y2=36，过点P（0，3）的直线l与椭圆相交于点A和B，若以线段AB为直径的圆刚好经过坐标原点，则直线l的表达式为_______. 分析：求直线l的表达式需要对直线的斜率进行讨论，斜率不存在时显然不满足条件. 若设直线表达式为y=kx+3后与椭圆方程联立，所得的方程为复杂的一元二次方程，直接求交点坐标较为复杂，此时可以采用设而不求的方法，利用韦达定理关于“根与系数”的关系来构建数式，通过整体代换来求解斜率，需注意对方程的判别式进行分析. 解：设直线l的表达式为y=kx+3，与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆与直线的方程，整理可得（9k2+4）x1+54kx+45=0，有两个解，则Δ>0，即（5k2）-4×45（9k2+4）>0. 根据韦达定理可得x1+x2=-，x1·x2=. 分析可知OA⊥OB，则x1·x2+y1·y2=0，变形可得y1·y2=，所以有+=0，可解得k=±（均满足条件），则直线l的表达式为y=±x+3. 评析：上述求直线斜率时充分采用了设而不求、整体代换的简化方法，从而避免了解方程的复杂运算. 该方法同样适用于求解中点弦、交点弦问题中，为确保答案正确、无漏解，在求解时需要注意两点：一是对方程判别式合理分析;二是关注直线的斜率是否存在. 技巧三：数形转化 数形结合是重要的数学思想，在求解解析几何问题时也可以采用数形转化的简化技巧，对于某些问题把握其中的几何特性，从图形固有的特征或采用运动的观点分析其中的变化规律，可直接提取其中的等量关系，简化过程. 例3：已知☉A的解析式为x2+（y-···试读结束