发现黄球并定位.doc

. . 精品 精品 . 精品 发现黄球并定位 崔丽 李子 潘克刚 解放军理工大学 数学中国提供 目 录 TOC \o "1-3" \h \z \u 1 问题的描述及简化 1 2 问题的分析 1 3 模型的建立 2 4 模型的求解 4 4.1 问题一求解 4 4.1.1簇1着色方案 5 4.1.2簇2着色方案 6 4.2 问题二求解 8 4.2.1簇1着色方案 8 4.2.2簇2着色方案 9 5 问题三讨论 11 5.1 圆锥轴线旋转方案 11 5.2 黄球定位概率的定义和计算 14 6 参考文献 16 . . 精品 精品 . 精品 1 问题的描述及简化 本题是黄球的发现与定位问题，其中被探测的黄球到红球和蓝球的距离之和小于常数40，那么对一对红，蓝球而言，能检测到的空间范围是以该红，蓝球所在位置为焦点，长轴长为40的旋转椭球体。对底面的所有红，蓝球，任意一对红，蓝球，只要其距离小于40，都可以形成一个探测椭球体，所有的红蓝球在一起就构成了一个探测椭球阵，现在就是要设计红，蓝球的个数及位置，使得椭球阵至少能够覆盖圆柱内的所有点。 首先将问题进行简化，我们给出以下假设： 红、蓝球探测角速度可以忽略不计； 红、蓝、黄球的体积可以忽略不计； 红、蓝球的探测波束为一直线； 在做了以上假设后可以将该问题用几何描述为： 有一个半径为50m，高为10m的圆柱体，该柱体与一个椭球阵相交，这个椭球阵内的椭球满足长轴长度小于等于20m，椭球的焦点在圆柱体的底面，且关于焦点连线旋转对称，每个椭球有一个焦点被图成红色、另一个焦点被图成蓝色，当同色焦点重合时可示为一个焦点，那么此时若保证黄球在圆柱体内任意位置都可能被检测到，也即要求该椭圆阵能够至少一次无缝覆盖圆柱体，同样，若保证黄球在圆柱体内任意位置都可能被定位，也即要求该椭圆阵能够至少三次无缝覆盖圆柱体。 2 问题的分析 定理一：椭圆阵能够无缝覆盖圆柱体一次的充要条件是：椭球阵在圆柱柱顶的交面能够无缝覆盖圆柱顶面一次。 证明： 必要性： 假设A点为圆柱柱顶上的任意一点，那么A点肯定包含在某个椭球内，假设该椭球的两个焦点分别是、，则A点肯定满足， 过A点做圆柱地面的垂线交于B点，取线上任意一点， 如图所示，则有因此有： 图1 定理1证明示意图 图1 定理1证明示意图 此时，可以得出点亦在以、为焦点的椭球内。即只要点在范围之内，那么连线上任意一点都在范围之内，不难得出结论：假如椭球阵在圆柱柱顶的交面能够无缝覆盖圆柱柱顶，那么也一定能够包含整个圆柱体。 . . 精品 精品 . 精品 充分性： 因为椭球阵能包含整个圆柱体，因此其在圆柱柱顶的交面必能包含圆柱顶面。 推论：椭圆阵能够无缝覆盖圆柱体次的充要条件是：椭球阵在圆柱柱顶的交面能够无缝覆盖圆柱顶面次。 定理二：与圆柱体底面平行且高度为（，其中为椭球的短轴长度）的平面与椭球的切面一定是个椭圆，并且其长短轴与椭球长短轴成比例，该比例系数为。 证明：假设椭球的表达式为： 那么高为的平面与它的交平面为： 从该表达式中不难看出，该切面是个椭圆，且其长、短轴与椭球长短轴成比例，该比例系数为。 根据定理一及其推论，我们可以将题目转化如何设计如何对焦点的位置进行设计并着色，使得其能用尽量少的红蓝焦点数目来获得能够次无缝覆盖顶圆的问题。 3 模型的建立 由于移动通信中的系统设计问题已经被研究的很成熟了，因此对本题目焦点位置的设计及着色问题我们可以借鉴移动通信中的基站位置及频率配置的设计方案来解决。首先我们对移动通信中的基站位置及频率配置的设计思路做一个简单的描述如下： 早期的移动通信其容量需求较低，采用的是大区制移动通信系统，该大区包含了所有频率，以达到该区内容量最高。但当总容量需求增加时，它就不能通过增加频率以达到增加容量需求的目的。因此需要找到一种系统结构满足随着容量需求的增长，其基站的数目可能会增加，从而提高额外的容量，但不会增加额外的功率。 当前的移动通信系统设计中采用了蜂窝的概念，其思想是用许多蜂窝（正六边形）来覆盖整个区域，将基站放置在正六边形的中心或者顶点，并用频率复用的策略来解决频率配置问题。在这里为了更好的理解频率复用的含义，我们引入簇的概念。在蜂窝系统的设计中共同使用全部可用频率的N个小区称为一簇，如图2所示，形成一簇至少需要三个频率，称N为簇的大小。N的值体现了移动台或基站可以承受的干扰。从设计观点来看N取可能的最小值是最好的，目的是为了获得某一给定覆盖范围上的最大容量。蜂窝系统中定义频率复用因子为1/N，因为一个簇中的每个小区都只分配给系统中所有可用信道的1/N。 . . 精品 精品 . 精品 图2 蜂窝频率复用基本思想图解（标有相同字母的小区使用相同的频