2021 年北京大学优秀中学生暑期学堂数学试题（完整版）.docx

2021 年北京大学优秀中学生暑期学堂数学试题（完整版） 函数 在上非负，则的最大值为_______. 平面内有定圆和动圆，动圆与定圆内切且恒过内不为圆心的一定点，则的圆心轨迹为_______. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D .以上都不对 已知 则的最大值是_______. 已知，且满足，则有序数对的组数为（ ） 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 已知，则的最小值为（ ） 若对任意的恒成立，则的最大值为（ ） 已知复数是方程的2021个相异根，则=（ ） 在数列中，已知，且当时，有。记，则的值为（ ） 9、和式的计算结果最后三位数字是（ ） 10、实数的十进制小数表示中个位数与十位数字之和为（ ） 11、设,方程的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，则该等边三角形的面积为（ ） 12、已知 对任意的实数均成立，则 13、已知满足方程 则有理数对的对数为________. 14、我们用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，则关于的不等式 的最小整数解为________。 15、已知为三角形三边长，则 的取值范围为___________. 16、设 有种方式分为3个正整数的倒数之和，有种方式分为3个正奇数的倒数之和，则（ ） B. C. D.以上都不对 17、已知，且满足，则大小关系为_____. 18、方程的整数解的组数为_______。 已知实数满足，则最大值为__________。 集合的非空子集中元素和为3的倍数的集合个数为____________。 2021 年北京大学优秀中学生暑期学堂数学试题答案 1、函数 在上非负，则的最大值为_______. 解答：由题，即恒成立.从而我们只需求函数的最下值.注意到 且，故在处取最小值，从而 从而的最大值为6. 2、平面内有定圆和动圆，动圆与定圆内切且恒过内不为圆心的一定点，则的圆心轨迹为（ ） 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D .以上都不对 解答: 不妨设定圆圆心为，半径为；动圆圆心为，半径为，定点记，切点为.如图所示，我们有 这说明点到两定点与的距离之和为定值，且大于两定点之间的距离. 因此的圆心的轨迹为椭圆。则正确答案为A. 3、已知 则的最大值是_______. 解答：注意到 即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 4、已知，且满足，则有序数对的组数为（ ） 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 解答：令，由题可知，且 利用函数与其反函数的图像关于直线对称，我们做出，以及在区间的大致图像，如下图： 其中为两条虚线的交点横坐标，为两条实线的交点横坐标。从而由图可知：有序数对的组数为1，所以正确答案为A. 5、已知，则的最小值为（ ） 解答：令，则我们有 即的最小值为。 6、若对任意的恒成立，则的最大值为（ ） 解答：原题即为 恒成立 所以我们有 恒成立。从而有 于是可得的最大值为. 7、已知复数是方程的2021个相异根，则=（ ） 解答：不妨令，则是方程 （*） 的所有根。将（*）式展开得 从而由韦达定理知 8、在数列中，已知，且当时，有。记，则的值为（ ） 解答：注意到，当时，有 从而我们有 9、和式的计算结果最后三位数字是（ ） 解答：注意到对任意的，我们有 且显然。所以 从而得末三位数为000. 10、实数的十进制小数表示中个位数与十位数字之和为（ ） 解答：注意到当时，我们有，同时 从而有 由于 因此我们有 . 这说明实数的个位数字与十位数字之和为9+9=18. 11、设,方程的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，则该等边三角形的面积为（ ） 解答：我们容易知道若为方程的根，则也为的根。注意到由题知方程共有三个不等根，这说明其必存在纯虚根，不妨设，则其余两根， 从而由韦达定理我们有 故有，于是可得 从而该等边三角形的面积为。 12、已知 对任意的实数均成立，则 解答：考虑更一般的情形：若 则.事实上，我们注意到 . 所以的系数. 回到原题，当时，有。 13、已知满足方程 则有理数对的对数为________. 解答：由于，则有 也即 由于在有理数域上线性无关，则 从而有理数对的对数为1. 14、我们用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，则关于的不等式 的最小整数解为________。 解答：显然有，则有 从而原不等式转化为 不妨令