2021年南京大学计算机系拔尖计划二次选拔考试(数学部分).docx

2021年南京大学计算机系拔尖班二次选拔考试试题 1.设自然数，现有个分数将这些分数化为最简分数，把这些最简分数的分子相加，得到的和记为。请问：对哪些自然数和中的一个是奇数，另一个是偶数？并给出严格证明。 2.现有方格表, 每个格子里有1个人，这个人可能是好人或者骗子, 好人全说真话, 骗子全说假话。这64个人全部都说:“我所在的列里的骗子数量不少于我所在的行里的骗子数量”, 求共有多少种放人方法?(即有多少个不同的方格表满足这个性质) 3.对任意，分解质因数，若为偶数（包括0），则说是平衡的，否则说是不平衡的。现考虑，定义函数，证明： （1）存在不相等的，使得均为平衡的； （2）若对任意，都平衡的，则。 4.假设正整数，某游戏有个参与者（个人类和个机器人）围成一圈。定义两个机器人之间的朋友关系。 （1）若两机器人之间只有不超过1个参与者则这两个机器人为朋友； （2）若两机器人之间恰有2个参与者，且这2个参与者至少有1个是人类，则这两个机器人为朋友； （3）除了上述两种情况意外，任意两个机器人都不是朋友。 求证：一定能找到对机器人，彼此之间是朋友。 2021年南京大学计算机系拔尖班二次选拔考试试题解答 1. 2. 3. 4.