2022年南开大学数学伯苓班选拔试题及解析.docx

2022年南开大学数学伯苓班选拔考试题 本试卷共七道试题，满分100分，测试时间为9月13日14：30-16:10 1.证明： 2.设，且恒成立，求的取值范围. 3.设椭圆，上顶点为，右焦点为，右准线交轴于，且离心率，，过点的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆方程与直线斜率取值范围； （2）证明:为定值. 4. ，且，且，求的最小值。 5.1?11中取4个不同的数字，求4个数字互不相邻的概率。 6.设集合，证明：对任意，均存在构成公差不为0的等差数列. 7.若, （1）若，证明: ； （2）若均为绝对值小于10的整数，证明：存在使得 2022年南开大学数学伯苓班选拔考试题解答 1.解： 注意到，从而考虑顶角为的等腰三角形（黄金三角形），或者考虑 ， 均不难解出，即证. 2.解：考虑分离参数，即有恒成立 从而可知。从而不难得到，从而。 3. 解：（1）椭圆方程为，斜率取值范围为 （2）以右焦点为极点，则可知椭圆的参数方程为，则可知 而如果我们作垂线，则有，从而注意到 从而结合图形不难得到两角互补，从而余弦和为0，也即和为定值。 4.解：注意到。 从而类似得到三个式子，即可得到最小值为.易见取等为全相等. 5.解：考虑7个小球，中间有8个空，插入4个隔板，则共有种，一共有种，从而概率. 6.解：我们考虑对正整数进行归纳，平凡，时考虑即可； 假设命题对时成立，即存在等差数列 从而设，则考虑数列，其中对任意有 则显然有 从而可知这是符合题意的构造。 7.解：（1）由，可知，同理，进而，即证. （2）考虑 从而将所有的从小到大排成一列，从而注意到 则注意到 , 从而由抽屉原理不难得到存在使得 又由(1)可知等号不能成立，从而取即可.