《直线与平面垂直(2)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第六章 立体几何初步 6.5.1 直线与平面垂直(2) 教学目标 教学目标 1.理解和掌握直线与平面垂直的判定定理并能简单应用； 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，进一步培养学生的空间观念； 3.通过对线面垂直的判定定理的证明，培养学生逻辑推理素养． 教学重难点 教学重难点 教学重点：直线与平面垂直的判定定理． 教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用． 教学过程 教学过程 一、新课导入 回顾：如何判定一条直线与一个平面平行？ 答案：方法一，定义法：线面无交点；方法二，线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 其中，定义法在实际使用时并不方便，故常用判定定理.而判定定理即是用“线线平行”来推出“线面平行”． 追问1：类似的，应该如何判定一条直线与一个平面垂直呢？ 答案：可以用定义法：直线与平面内所有直线垂直． 同线面平行的判定类似，定义法是用“线线垂直”来推出“线面垂直”，但是显然，定义法并不方便，因为这里需要证明无数组“线线垂直”.那么我们能用有限组“线线垂直”来推出“线面垂直”吗？ 设计意图：通过复习线面平行的判定，来引出对线面垂直判定的探究，方便知识的迁移，也引导学生用“降维”的思路思考问题． 二、新知探究 问题1：如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 追问1：如图，长方体中，直线B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？ 答案：不垂直． 问题1答案：不能． 问题2：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 分析：同一平面内两条直线的位置关系可能是平行或相交，需分情况讨论． 答案：①当两条直线平行时： 如图，长方体中，直线B′C⊥AB，B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD并不垂直； ②当两条直线相交时： 如图，长方体中，直线C′C⊥BC，C′C⊥CD，直线C′C与底面ABCD垂直． 思考：结合问题1和问题2，大家能猜想出如何判定直线与平面垂直吗？ 答案：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 证明过程较为复杂，这里不做要求． 线面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 符号语言：若a?α，b?α 注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“a?α，b?α”；②线线垂直，“l⊥ 作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”． 【概念巩固】 1.如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？ 答案：不垂直，无数条直线并不能保证有两条相交直线，判定定理不成立． 2.如果一条直线和一个平面内的任意两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？ 答案：垂直，任意两条直线肯定能保证有两条相交直线，判定定理成立. 思考：（1）若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？ （2）过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？ 答案：（1）不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P， 直线b，c确定平面α． ∵c?α ∴a⊥ （2）假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能相交于一点，故假设错误． 故答案为有且只有一条． 问题3：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？ 分析：根据问题把文字语言改写成符号语言并画出相应的图形：已知：如图，l1l2 证明：要证明l2⊥α，只需证明l 在平面α内作两条相交直线a，b. ∴l1⊥α，∴l 又∵l1l2，∴l 又∵a?α，b?α， ∴l2 结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 三、应用举例 例1 下列说法正确的有 . ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直. 解：②. 在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由线面垂直的定义可知，②正确；这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；如图，l与α不垂直，但a?α， 规律方法： 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交； 判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. 例2 如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为