《正切函数的图象和性质》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第一章 三角函数 1.7.3 正切函数的图象和性质 教学目标 教学目标 1．能画出正切函数的图象，并能根据图象研究正切函数的性质； 2．掌握正切函数的基本性质，并能运用性质解决有关问题． 教学重难点 教学重难点 重点：正切函数的图象与性质． 难点：用描点法画正切函数的图象，正切函数性质的研究． 教学过程 教学过程 一、新课导入 在前两节中，我们学习了正弦函数、余弦函数，并借助图象研究了它们的性质．下面类比学习正弦函数、余弦函数的方法学习正切函数的图象与性质． 新知探究 问题1：正切函数是周期函数吗？如果是，你能求出它的周期吗？ 答案：由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有 tan 即tanx+kπ 所以kπk∈Z， 问题2：你能类比画正弦函数图象的方法，画出正切函数的图象吗？ 答案：类比画正弦函数图象的方法，首先画出正切函数y=tanx，x∈-π2，π2的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上，为此只需要在区间-π2，π2上取一系列的 x - - - 0 π π π y - -1 - 0 3 1 3 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点然后用光滑曲线顺次连接，就可以得到正切函数y=tanx在区间 因为正切函数y=tanx是以π为周期的函数，所以它在区间kπ-π2，kπ+π2，k∈Z，k≠0上与在区间-π2，π2上的图象形状完全相同． 从图中可以看出，正切曲线是由被互相平行的直线x=π 问题3：观察上图中正切函数的图象，你能说出正切函数y= 答案： 函数 y 定义域 x 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，周期是kπ，最小正周期是 对称性 关于原点对称，kπ 单调性 kπ-π2 三、应用举例 例1画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间： (1)y=tan2 解：(1)函数y= 由正切函数y=tanx的定义域可知，函数y=tan2x的自变量x应满足2x≠π2 由于正切函数y=tanx的周期是π，tan2x=tan2x+π 由于正切函数y=tanx的单调递增区间是 所以由kπ-π22xkπ+ 因此，函数y=tan2x的单调递增区间是 (2)画出函数y=tanx- 由正切函数y=tanx的定义域可知，函数y=tanx-π4的自变量x应满足x 由于tanx-π4=tanx- 由kπ-π2x-π4 因此，函数y=tanx-π4的 例2 比较下列各组中三角函数值的大小． (1)tan-3π4与tan7π5 解：(1) tan-3π 由于y=tanx在区间0 因此tan 即tan (2)tan-13π 由于y=tanx在区间0 因此tanπ4 即tan 四、课堂练习 1．请画出y=tan 2．如何确定函数y= 参考答案： 解析：y= 由图象得到函数y= 函数 y 定义域 x 值域 R 奇偶性 既不是奇函数，也不是偶函数 周期性 周期函数，周期是kπ，最小正周期是 对称性 kπ 单调性 kπ-3π4 五、课堂小结 1．正切函数的图象是： 2．正切函数的性质是： 函数 y 定义域 x 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，周期是kπ，最小正周期是 对称性 关于原点对称，kπ 单调性 kπ-π2 六、布置作业 教材第62页练习第2，4，5，6题．