《余弦定理》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

《余弦定理》教案 教学目标 教学目标 1．在创设的问题情境中，发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并运用余弦定理解简单的三角形； 2．通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，养成创新意识和具备观察与逻辑思维能力，体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题． 教学重难点 教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步应用余弦定理． 难点：利用向量法证明余弦定理的思路． 教学过程 教学过程 一、新课导入 BCA想一想：如图，某隧道施工队为了开道一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C边的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC B C A 想一想：这个实际问题可以转化为怎样的数学问题？ 答案：已知三角形的两边和其夹角，求三角形的另外一边． 设计意图：创设情境，使学生体会解三角形在实际生活中的广泛应用． 二、新知探究 问题1：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，有.若a，b边的长短不变，变换 ∠C的大小时，与有什么大小关系呢？ 追问1：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，保证AC与BC的长度不变，旋转BC使得∠C?90°，此时与满足什么大小关系？ 答案：由图可得AB的长度变小，所以． 追问2：那么用上述方法试着探究当∠C?90°，与有什么大小关系？ 答案：如图作Rt△ABC，∠C=90°，保证AC与BC的长度不变，旋转BC使得∠C?90°，由于AB的长度变大，所以． cabHCBA问题2：在上一个问题中，我们已经知道，当∠C≠90°时，， c a b H C B A 追问1：如图在任意△ABC中，当∠C为锐角时，过点A 作AH⊥BC于H，那么如何用a，b与∠C来表示△AHB的三边长？ 答案：在Rt△AHC中，，，所以 ． 追问2：请用上述关系式表达Rt△AHB的三边关系． 答案：在Rt△AHB中，，即． 所以当∠C为锐角时，△ABC的三边具有的关系． cabHCBA追问3：当∠C c a b H C B A 答案：推导步骤如下： 第一步：如图作钝角△ABC中，∠C为钝角，过点B 作BH⊥AC，交AC的延长线于点H． 第二步：由图可得△ACB是两个直角三角形之差， 在Rt△ABH中， ； 在Rt△BCH中，∠BCH=π-C，， ． 第三步：所以化为 因为，所以我们也可以得到． 追问4：那么当∠C=90°时，这个等式成立吗？ 答案：成立．因为当∠C=90°时，cosC=0，此时该等式满足勾股定理． 综上可得，在任意△ABC中，满足，我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到，，这就是三角形中边角关系的重要定理： 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 问题3：你能用向量的方法证明余弦定理吗？ 答案：在任意△ABC中，． 即． 追问1：试着建立直角坐标系，用坐标法进行证明． (a,0)(bcosC,bsinC)y (a,0) (bcosC,bsinC) y x a b c C B A 第一步：由图可得C(0，0) ，A(bcosC，bsinC) ，B(a，0)； 第二步：利用两点间距离公式得 ， 即． 问题4：余弦定理可以解哪些类型的三角形？ 答案：根据，我们不难发现，余弦定理可以解已知三角形的两边及其夹角，求第三边的题型． 追问1：如果只知道三边长，是否能求出三角形的内角？ 答案：通过公式变形，我们可以得到，，，所以余弦定理还可以解决已知三边长，求三角形的内角的问题． 追问2：所以如何根据三边定量判断三角形形状？ 答案：在△ABC中，我们记最长的边为c，若，△ABC是锐角三角形；若，△ABC是直角三角形；若，△ABC为钝角三角形． 想一想：前面的四个问题推导出了什么结果？ （1）余弦定理及其推论； （2）余弦定理的作用； （3）余弦定理的结构特点． 总结： ，，余弦定理 ， ， 余弦定理是勾股定理的推广． 利用余弦定理，可以由三角形的三条边，求出它三个角的大小． ， ， ． 设计意图：在突破定理证明难点时，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，让学生展开联想，力求寻找合理的知识方法，进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生的知识链.比如解三角形处理的是三角形的边长、角度等度量问题，属于代数范畴，而三角形的边、角是几何概念，因此自然会联想到解析法，即把几何中的基本元素——点，赋予代数含义——坐标，从而使数和几何元素实现了互相转化.另外一个既有代数属性，又有几何特征的知识——向量，特别是向量的数量积打通了三角形边角的数形联系，是数与形的完美结合，是化归与转化思想的体现，方法简洁而自然. 【概念巩固】 思考:判断正误并说明理由？ （1）)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因