《刻画空间点、线、面位置关系的公理(1)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第六章 立体几何初步 6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(1) 教学目标 教学目标 1．结合问题实例，认识3个基本事实(公理)，并能够用准确的数学语言表达这些公理． 2．提升直观想象和数学抽象素养． 教学重难点 教学重难点 教学重点：认识3个基本事实(公理)，用三种语言表述这些公理． 教学难点：对基本事实的理解． 教学过程 教学过程 一、新课导入 问题：在下面图片中，有哪些共同要素？ 答案：平面. 平面是构成我们生活的空间的基本元素之一，增加了对平面的研究，几何的学习就由二维到三维.生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象.那么，如何确定一个平面？平面又有什么性质呢？这就是我们这节课所要学习的内容. 设计意图：通过生活实例中的平面，引出本次课的课题. 二、新知探究 问题1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？ 追问1：过一个点有多少个平面？ 答案：无数个. 追问2：过两个点有多少个平面？ 答案：无数个. 追问3：过三个点有多少个平面？ 答案：过同一条直线上的三个点有无数个平面，过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面. 追问4：过四个点能确定一个平面吗？ 答案：不一定. 如图：点A，C，D，E确定一个平面；点A，C，D，D'形成了一个三棱锥，确定4个平面. 基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面. 注意：①三点不共线； ②“有”，指平面的存在性； ③“只有一个”，指平面的唯一性. 符号语言：若点 思考：生活中有没有基本事实1的一些应用呢？在数学中又有哪些作用呢？ 答案：生活中：三角凳，相机的三脚架，把书打开可以立在桌面上等等. 数学中：确定一个平面；判定两平面重合；证明点、线共面等等. 问题2：如何确定一条直线在一个平面内？ 追问1：若平面与直线有一个公共点，那么直线在平面内吗？ 答案：不一定在. 追问2：若平面与直线有两个公共点呢？ 答案：在. 追问3：为什么两个公共点可以？ 答案：两点确定一条直线. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l?α. 追问1：基本事实2有哪些作用呢？ 答案：判定线面之间的关系；间接判断点是否在平面内（点在线上，线在面内，则点在面内）等等. 思考：下列条件能够确定一个平面吗？ 一条直线和该直线外一点； 两条相交直线； 两条平行直线. 总结： 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面； 推论2：两条相交直线确定一个平面； 推论3：两条平行直线确定一个平面. 以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据. 问题3：把三角尺的一个角立在桌面上，三角尺所在平面与桌面所在平面是否只有一个公共点？如果还有其他公共点，它们与这个公共点有什么样的关系呢？ 答案：不止一个公共点，这些公共点是共线的. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言：P∈α，P∈β?α∩β=l且P∈ 追问1：基本事实3有哪些作用呢？ 答案：判断两平面的位置关系：要么平行，要么相交（直交或者斜交）；通过确定两个公共点来确定两平面的交线等等. 三、应用举例 例1 设A,B,C是三个点，AB是过点A,B的直线，α是一个平面.将下列命题改写成语言叙述，判断正误，并说明理由： 当A∈α， A∈ 解：（1）当点A在平面α内，点B不在平面α内时，直线AB在平面α内；该命题错误.若AB?α成立，则AB上所有点都在平面α内，与条件B?α （2）当点A、B在平面α内，点C在直线AB上时，点C也在平面α内；该命题正确.∵A∈α，B∈α，∴AB?α（基本事实2），又 C∈AB，∴C∈α. 例2 若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是 . 解：如图，∵AC∥BD， ∴AC，BD确定一个平面，设为平面β， 则C，D，l均在平面β内， ∵点O在直线l上， ∴点O在平面β内， 又点O，C，D在平面α内， ∴平面α，β相交于O，C， 故O，C，D三点共线. 设计意图：通过例题，熟悉三个公理以及三个推论． 四、课堂练习 1．判断正误，并说明理由： （1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. （2）一个点和一条直线确定一个平面. （3）两两相交的三条直线确定一个平面. （4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 2.下列推理错误的是（ ） A.l B.A∈l C.A∈α D.A∈l 3.如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，过对角线AC′的截面为菱形AEC′F，试着画出截面AEC′F与底面ABCD的交线. 参考答案： （1）错