2022年全国高中数学联赛预赛-北京邀请赛（高一年级）试题（含答案解析）.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 2022年全国高中数学联赛预赛-北京邀请赛（高一年级）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若方程仅有一个实根，则满足条件的k的最大值等于___________． 2．设的三个内角分别为A，B，C，假设的最大值为，将写成最简分数后分子分母之和为____________． 3．已知函数，使得任取实数x，y，z都有，则__________．（其中表示不大于x的最大整数）． 4．有_______组整数满足． 5．已知x，y，z是3个大于等于1的实数，那么最小值写成最简分数后分子分母之和是___________． 6．中，，，作交于D．已知，，设S为的面积，则写成最简分数之后，分子分母之和为_________． 7．满足的所有正实数x的整数部分之和是___________． 8．方程有___________组整数解． 9．设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是____________． 10．对实数，不超过的最小值的最大整数为__________． 11．有__________个不超过2020的正整数k，满足对任意的正整数n，均有． 答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页 答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页 参考答案： 1．4 【详解】当时，，设， 则， 当时，两根均大于0，故， 故答案为：4. 2．43 【详解】在上，余弦函数是单调减的根据正弦定理可知，在一个三角形里，越大的角，其正弦也越大． 不妨设在A，B，C三个角中，居中，根据排序不等式有： ， 所以，分子分母和为43． 故答案为：43. 3．1022121 【详解】取，有，知， 取，有， 令，有；令，有，故恒等于， ， 故答案为：. 4．0 【详解】， ， ， 而一个平方数除以17的余数只能是： ， 除以17的余数不可能是12，所以结果为0． 故答案为：0. 5．11 【详解】设， ， 同理：， 故原式， 故答案为：11. 6．7 【详解】如图，作射线使， 交延长线于F，延长至G使， 则为正三角形．设交于E． 由于，， 故，故． 在线段上取M使得，则，从而， 又知． 又，故， 从而． 又，故，从而， 故， 故答案为：7. 7．5 【详解】， ， ， ∴． 整数部分分别是2，3．和是5． 故答案为：5. 8．14 【详解】先考虑方程，并要求a，b，c中至少一个是完全平方数． ①若，则，即． 当时，，满足要求的有和． 对应x，y，z有10组解：或或或或． 当时，，没有满足要求的． ②，则，即． 此时，满足要求的解只有．对应x，y，z有4组解． 因此，原方程共14组解． 故答案为：14. 9．21 【详解】考虑二次函数，它的不动点为与，考虑它的二阶不动点： ， 可解得：，以及， 这样． 可以构造例子为周期2的数列：，这个例子说明可行的． 另一方面，我们可以证明数列中一定有某项， 我们用反证法，假设． 如果数列中有数，则． 因此我们假设，这样就有或，即． 综合来看，我们有对成立． 另一方面，．因此我们有，即对任意正整数k成立，这样可得，矛盾． 因此对首项且数列中一定某项． 即满足题意的最大的实数． 故答案为：21. 10．92378 【详解】我们把集合划分为：， 其中． 其中的元素个数为．记， 则， 考虑． 由于，我们有， 即．（记）， 所以． 当或时，我们取可使上式取等号，（此时）： ， 综上，的最小值是． 故答案为：92378. 11．7 【详解】（1）Legendre公式： ，其中）表示n的进制的数字和． （2）回到原题，我们知道： ， 问题转化： （△）设p为素数，求所有的正整数k，满足条件：对任意的正整数，均有． 其中表示的进制的数字和． （ⅰ）先考虑的性质： 不妨设n的进制表示为：， 其中且， 因此， 特别对，我们有， 因此. （ⅱ）回到（△）： （Ⅰ）如果，其中，那么对任意的正整数n， 均有， 从而符合题意，． （Ⅱ）如果k不是p的幂，那么k不符合条件． 想证：存在正整数N，使得． 由于k不是p的幂，不妨设，其中， 我们知道：， 只需证：存在正整数N，使得， 由于，那么，因此存在正整数，使得， 理由如下：考虑以下的个数， 利用抽屉原理，存在，使得， 因此，， 从而，．令，则，即． 下面构造正整数N：令，其中正整数，t待定． 要求t适当大， 不妨设，则，从而， 我们知道：， 因此，， 另一方面： ， 观察， 不妨