2022年浙江省数学会夏令营考试试题（含答案解析）.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 2022年浙江省数学会夏令营考试试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．函数的定义域为______. 2．三角形各边均为整数，且最大边长为5的所有三角形个数为______. 3．已知复数，则______. 4．已知集合，若集合A中恰有9个正整数，则______. 5．已知，其中a，，则n的最大值为______. 6．已知函数在处的切线方程为，则______. 7．已知平面向量，，满足，且，则最大值为______. 8．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A的取值范围是______. 9．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____. 10．已知点，抛物线，不过点P的直线l交抛物线C于不同的两点A，B.记直线，的斜率分别为，，且满足，则直线l的斜率为______. 11．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 12．在正四棱锥中，M在棱上且满足.过作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为，，则的最大值为______. 13．已知，，，，1，2，…，则满足的最小正整数n为______. 14．我们称正有理数n为“友好数”，当且仅当化为最简分数时，a为奇数.则在集合中好数的个数为______. 15．若关于x的方程有实数解，则a的取值范围为______. 16．设锐角，O，H分别为其外心和垂心，直线分别交，于L，K.已知与的面积相等，则______. 17．二项式的展开式中，整数项共有______项. 18．设数列满足，，则的值为______.（结果用和表示） 19．设a，b，c，，，则的最小值为______. 20．给定正整数n，，记从的一一映射f称为是可划分的：若X可划分为k个非空子集，，…，，且（，2，…，k）（即，且，，…，两两的交集为空集，）.已知f是一个X的划分的一一映射，，，…，是1，2，…，n的一个排列，则的最小值为______. 答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页 答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页 参考答案： 1． 【详解】函数有意义，则，则， 故函数的定义域为. 故答案为：. 2．9 【详解】设另两边为，则， 不妨设，若，则有5种， 若，则有3种， 若，则有1种， 综上可得共有种， 故答案为：9. 3． 【详解】由题意可得. 故答案为：. 4．4 【详解】时，，不合题意，舍去， 时，，不合题意，舍去， 时，， ， . 故答案为：4. 5．12 【详解】， ， ， ， ，此时. 故答案为：12. 6． 【详解】由函数的解析式可得， 则，解得， 当时，，即切点坐标为， 故，解得， . 故答案为：. 7．6 【详解】， 当且仅当时取得最大值. 故答案为：6. 8． 【详解】由余弦定理可得， ，且， ， ， 设， 则， ，，则， ， ， . 9． 【详解】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果. 详解：取的中点，连接， 由三角形中位线定理可得，， 故即为与所成的角或其补角， 因为是正四面体，不妨设令其棱长为， 则由正四面体的性质可求得， 故，故答案为. 点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记. 10．1 【详解】如图所示，设直线的方程为， 与抛物线方程联立可得， 则，， ， ，即， 的斜率为1. 故答案为：1. 11． 【详解】设，则， 当时，不等式化为对恒成立， . 若，则单调递减，易知有唯一解， ， ， 故时，， 时，，故恒成立. 则，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增. 时，， ， 即. 时，与有相同的零点， ， ， 而， 即无解， 综上可得：. 12． 【详解】设过AM的平面交SB,SD于G,P， 将平面MGAP延伸，交BC,CD于E，F，则A，E，F共线. 设， ， 又， 而， 由于 ， ，， . 故答案为：. 13．23 【详解】， ， ， ， ， 由此可知，数列为：， 猜想数列中对，一定有两个连续的项， 据此可得数列中有项：， ， ， 故假设对于也成立， 由上述过程可知，只有型数为正， 而大于2022的型数为2048， 即的最小值为. 14．906 【解析】略 15． 【详解】，， ， ， 又， ，