高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案).doc

高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案) 高中数学竞赛（预赛）真题训练（一） 一、填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1．已知复数满足，则 ． 2．设，，则的值域为 ． 3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是 ． 4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则 ． 5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为 ． 6．设，且，，则符合条件的共有 组．（注：顺序不同视为不同组．） 7．设，则的最小值为 ． 8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是 ． 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。） 9．设数列满足，，其中． （1）证明：对一切，有； （2）证明：． 10．求不定方程的正整数解的组数． 11．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点． (1)证明：直线AB恒过定点Q； 12．设为正实数，且．证明： ． 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一） 参考答案 一、填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1．已知复数满足，则 0 ． 2．设，，则的值域为． 3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是． 4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则． 5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为． 6．设，且，，则符合条件的共有 1600 组．（注：顺序不同视为不同组．） 7．设，则的最小值为． 8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是． 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。） 9．设数列满足，，其中． （1）证明：对一切，有； （2）证明：． 证明 （1）在已知关系式中，令，可得； 令，可得 ① 令，可得 ② 由①得，，，， 代入②，化简得． ------------------------------------------7分 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此． 于是． 因为，所以 ． ------------------------------14分 10．求不定方程的正整数解的组数． 解 令，，，则． 先考虑不定方程满足的正整数解． ，，．-----------------------5分 当时，有，此方程满足的正整数解为． 当时，有，此方程满足的正整数解为． 所以不定方程满足的正整数解为 ． ---------------------------------------10分 又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 ． -------------------------------15分 11．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点． (1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：． 证明 (1)设，则． 由得，所以． 于是抛物线C在A点处的切线方程为，即． 　　设，则有． 　　设，同理有． 所以AB的方程为，即， 所以直线AB恒过定点． ------------------------------------------7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得 ． 设，，则 ① 要证，只需证明，即 ② 由①知， ②式左边= ． 故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分 12．设为正实数，且．证明： ． 证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 = 1 \* GB3 ① ---------------5分 事实上， = 2 \* GB3 ②--------------10分 由柯西不等式知 = 3 \* GB3 ③--------------15分