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全国高中数学竞赛二试模拟训练题集10套 数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题30)设，则从到的映射中，满足的个数是(C)． (A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个 2．(训练题30)在顶点为，，，的正方形(包括边界)中，整点的个数为(B) 个． (A)7980011 (B)7980013 (C)7980015 (D)7980017 3．(训练题30)设，那么(B)． (A) (B) (C) (D) 4．(训练题30)在四面体中，面及都是边长为的等边三角形，且分别为棱的中点，则与在四面体上的最短距离为(A)． (A) (B) (C) (D) 5．(训练题30)已知三个三角形的周长分别为．若，且较小的两个三角形和可以互不重叠地放入大三角形的内部，则的最大值是(B)． (A) (B) (C) (D) 6．(训练题30)以正边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D)． (A) (B) (C) (D)非上述答案 二、填空题（本题满分42分，每小题7分） 1．(训练题30)设，且，其中是不小于3的自然数，则形如的全体分数之和为 ． 2．(训练题30)在中，已知三个角成等差数列．若其对边分别为，并且等于边上的高，则 ． 3．(训练题30)若，则 ． 4．(训练题30)在中，在上，，在上，，延长交于，则 ． 5．(训练题30)数列满足，则通项 ． 6．(训练题30)已知集合，从中选3个元素，中选2个元素，能够组成 90 个有5个元素的新集合． 三、(训练题30)(本题满分23分)已知是抛物线的动弦上的点，为坐标原点，，求点的轨迹方程． 四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作：(1)将某个数重写一遍；(2)将两数相加，写上和数.试证明：①119这个数永远不会出现在黑板上；②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现． 五、(训练题30)(本题满分25分)已知，求证：对一切．均有等号当且仅当时成立． 第二试 一、(训练题30)(本题满分50分)已知为任意凸四边形，分别以为边在四边形外作正和正；以为底边在四边形作顶角为1200的等腰三角形和．求证：，且． 二、(训练题30)(本题满分50分) 若干个同学参加数学竞赛，其中任何个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友），问有多少同学参加数学竞赛． 三、(训练题30)(本题满分50分)是个循环小数，表示的小数点后第k位开始，连续位上的数字之积，证明存在自然数，对任意的均有． 数学奥林匹克高中训练题（26） 第一试 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题59)已知是两个不等的正数，则，，的大小顺序是(C)． (A) (B) (C) (D) 2．(训练题59)函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，，且当时，，则是(B)． (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 3．(训练题59)已知为非零常数，若， ，则对任意的(C)． (A) (B) (C)仅当时， (D)仅当时 ABCDFEA1B1C1D14．(训练题59)如图1，在棱长为的正方体中，点E、F分别是面和 A B C D F E A1 B1 C1 D1 (A) (B) (C) (D) 5．(训练题59)已知周期数列满足，若，则当该数列的周期最小时，数列的前2002项的和是(B)． (A)2002 (B)1335 (C)1949 (D)1428 6．(训练题59)设点分别为椭圆的左右两焦点，为右准线，若在椭圆上存在点，使，点到的距离成等比数列，则椭圆离心率的取值范围是(A)． (A) (B)