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高中数学竞赛试题及答案集大全 高中数学竞赛训练题—解答题 1．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得. 2．已知不等式对一切正整数均成立，求正整数的最大值，并证明你的结论。 3．设为的单调递增数列，且满足，求{}的通项公式。 4．（1）设求证： （2）设 求证： 5. 设数列， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7．已知数列满足（），前项和为，且， 记（），当时，问是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由． 8. 在中，已，又的面积等于6. （Ⅰ）求的三边之长； （Ⅱ）设P是（含边界）内一点，P到三边AB、BC、AB的距离为、和，求的取值范围. 9．在数列中，，是给定的非零整数，． （1）若，，求； （2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 10. 已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。 11. 如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点． （Ⅰ）设点，若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时， 取得最大值与最小值，求的取值范围； （Ⅱ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，且与直线相交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足．试研究：直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 12．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，且垂直于底面． （1）求四棱锥的体积； （2）在边上是否存在一点，使得？请说明理由． 13．（本小题满分15分） 关于的方程：． （1）若方程表示圆，求实数的取值范围； （2）在方程表示圆时，若该圆与直线：相交于两点，且，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若定点的坐标为（1，0），点是线段上的动点，求直线的斜率的取值范围． 14．已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。 （1）求之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。 BACEA1B1C115. 如图，正三棱柱中，是中点. （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）若，求点到平面的距离； （Ⅲ）当为何值时，二面角E—BC1—C的正弦值为？ B A C E A1 B1 C1 16．（本小题满分15分） PnPn+1在平面上有一系列点…，．对每个正整数,点 位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙彼此外切．若,且 （）． Pn Pn+1 （1）求证：数列是等差数列； （2）设⊙的面积为，, 求证：对任意，均有． 17． （本小题满分18分） 二次函数中，实数满足=0,其中． 求证： (1)；(2)方程在(0，1)内恒有解． ABC18．如图，斜三棱柱的所有棱长均为， A B C 侧面底面，且. （1） 求异面直线与间的距离； （2） 求侧面与底面所成二面角的度数． 19．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量，，且． （1）求满足上述条件的点的轨迹方程； （2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论． 20．已知抛物线和。过任作直线，交抛物线于B、C两点。 = 1 \* GB2 ⑴求△ＡＢＣ重心的轨迹方程，并表示成形式； = 2 \* GB2 ⑵数列中，，且满足。试证： 21．椭圆C：= 1 ( a＞b＞0 )的两个焦点为F1 ( – c , 0 )，M是椭圆上一点，且满足= 0。（Ⅰ）求离心率e的取值范围；（Ⅱ）设斜率为k ( k ≠ 0 )的直线l与椭圆C相于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P、Q的直线对称？若能，求出k的范围，若不能，请说明理由。 22．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足： （1）（R，a为常数）； （2）； （3）当时，≤2． 求：（Ⅰ）函数的解析式； （Ⅱ）常数a的取值范围． 23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 — — — — — — — — — 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。 （I） 若，求的值； （II）已知函数的反函数为 ，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。 24.若、、，且满足，求的最大值。 25． 设定义在[0，2]上的函数满足下列条件： ①对于，