全国高中数学竞赛二试模拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练.doc

全国高中数学竞赛二试模 拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练 加试模拟训练题 1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本） 2.设是正实数,且满足,证明: 3、设A是一个有个元素的集合，A的个子集两两互不包含， 试证：（1）（2） 其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数. 4．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。 证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。 加试模拟训练题（15） 1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本） 证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连，有。设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆。 2.设是正实数,且满足,证明: (第41届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令.易知.则 = 同理有其它两式,再令 . 则原不等式等价于齐次不等式:. 因为 同理有; . 故 . 从而原不等式成立. 3、设A是一个有个元素的集合，A的个子集两两互不包含，试证：（1）（2） 其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数. （1993年，全国高中数学联赛二试第二大题） 【证明】（1）据组合公式知，（1）式等价于 ① 对于A的子集我们取补集并取的元素在前，元素在后，作排列，. ② 这样的排列共有个. 显然,②中每一个排列,也是A中的一个排列,若时，对应的排列与对庆的排列互不相同，则所对应的排列总数便不会超过A中排列的总数现假设中对应的某一排列，. ③ 与（）中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当时，；当时，，这都与两两互不包含，矛盾. 由于对应的排列对②互不相同，而A中个元素的全排列有！个，故得 即 （2）由上证及柯西不等式，有 【评述】本题取自著名的Sperner定理： 设Z为元素，为Z的子集，互不包含，则的最大值为. 4．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。 证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。 若2 ，2 ，2 c，则，又因为矛盾！ 所以2|. 若3 ，3 ，3 c，因为，则，又，矛盾！从而3|. 若 5 ，5 ，5 c，因为，， 所以或0(mod5)与矛盾！ 从而5|. 又(2,3,5)=1，所以30|. 高一数学竞赛集合与函数试题训练 6．已知函数的定义域为（其中），值域为，则符合条件的数组为． 8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是． 1.已知函数f(x)满足f()=log2, 则f(x)的解析式是( C ) A.2?x B.log2 x C. ?log2 x D.x?2 2.已知f(x)=1-(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称, 则直线l的方程为( B ) A.x=2 B.x=1 C.x= D.x=0 3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f()=0, f(log4x)＞0, 那么x的 取值范围是( A ) A.x＞2或＜x＜1 B.x＞2 C.＜x＜1 D.＜x＜2 4.已知定义域为R的函数y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又y=f(x+4)是偶函数, 则( A ) A. f(5)＜f(2)＜f(7) B. f(2)＜f(5)＜f(7) C. f(7)＜f(2)＜f(5) D. f(7)＜f(5)＜f(2) 5.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,]成立, 则a的最小值为( C ) A.0 B. ?4 C.?5 D. ?6 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x＞1时, f(x)单调递增. 如果x1+x2＜2, 且(x1-1)(x2-1)＜0, 则f(x1)+f(x2)的值( B ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f(x)=25?|x+5| -4×5?|x+5| +m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( D ) A.m＞0 B.m≤4 C.0＜m≤4 D.0＜m≤3 8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x1∈[a, b]有唯一的x2∈[a, b], 使