1998年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答.doc

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 3 页 1998年上海市中学生业余数学学校 预备年级试题 （10月18日 上午10:30~11:30） 1. 一本书共有1998页，在这本书的页码上，数字7一共出现了 600 次 解：按位数 百位 700-799，1700-1799 200个 出现了600次 十位 X70-79 X=0-19，20种 10×20=200个 个位 Y7 X=0-199，200种 200次 2. 在矩形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，四边形AFCE的面积是18cm2，则矩形ABCD的面积是____36___cm2. 解：连AC，矩形ABCD的面积是四边形AFCE的面积的1倍，即36 cm 3. 一个十位数字为0的三位数等于它各位数字之和的P倍（P为已知的自然数），交换它的个位和百位后 所得的新三位数等于它的各位数字之和的 （101-p） 倍。 解：设这个三位数为=100a+b = 99a + （a+b） 由题意99a + （a+b）= p×（a+b） => 99a = （p-1）（a+b） = 100b+a = 100（a+b）- 99a = 100（a+b） - （p-1）（a+b） = （101-p）（a+b） 4. 八个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面的两个数的和。已知第五个数是7， 则第八个数是 29 。 解：2 1 3 4 7 11 18 29 5. 有一列分数： 其中第1998个数是 45/63 。 解：估算S=（1+n）n÷2 = 1998 ∵71×70÷2＞70×70÷2=4900÷2、 再估61×60÷2=3660÷2=1830、 再估62×63=61×60÷2+61+62=1953 ∴分母为63，分子为1998-1953=45，即45/63 6. 下图中三角形ABC的面积是75cm2，把三角形ABC的边AB和AC都五等分，阴影部分的面积 是 21 cm 解：相似三角形面积比。 5层：4层：3层=25：16：9 则4层-3层 的占比为 =16-9 =7 ∴75÷25×7 = 21 cm 7. 图中正方形ABCD的边长是5cm，AEGD是长方形，三角形ECH的面积为10cm2，则FG＝ 1 解1：三角形ECH，分开看成三角形EFH和三角形EFC 以EF为底的这两个三角形的高之和等于AB，即5 则×5=10 => EF = 4 =>FG =1 cm 解2：极端假设法。EG在AD和BC间可移动，取最简单一种 即EG与AD重叠的情况， 此时H、F重叠；A、E重叠；G、D重叠。 S△ECH：S△HDC=10： 5×5÷2-10=4：1 => EF = 4 =>FG =1 8. 甲、乙两人沿长方形道路ABCD匀速相对而行，开始时甲在A处，乙在C处，同时出发。 第一次相遇时甲走了50米，第二次相遇时，乙再走20米就回到C处，这条道路的周长是 260 解：设周长2S米，则AC间为S米。第一次相遇时甲走了50米、相遇路程上共同走了半圈。 第一次相遇到第二次相遇，相遇路程上共同走了一圈，时间上是前一次的一倍，所以甲走了100米。 此时甲共走了150米，但位置超出半圈点C20米，半圈150-20=130米，所以整圈260 9. 125个1×1×1的正方体，其中60个为白色，65个为红色，将它们拼搭成一个大正方体， 大正方形的表面上，白色部分的面积对红色部分面积占比t最少为 11/39 。 解：125=5×5×5 ∴每面5×5=25个。角、边、面，内上的小正方体，依次露出3、2、1、0面， 要最少，则白色部分尽量往后面放。 内层不露出的有（5-2）×（5-2）×（5-2）=27个， 外层每面中心的只露1面有（5-2）×（5-2）×6=54块可放。 ∴60个白色的，27个放内层，33个外层每面中心位置，露出白色部分的面积为33 此时，表面积5×5×6=150，红色表面积=150-33=117，∴ t = 33/117 = 11/39 10. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时后相遇，甲车再开3小时到达B。 甲车每小时比乙车快20千米，A、B两地相距 560 千米 解1：设乙车速度X，则甲车X+20。甲车再开3小时到达B地，这段路程乙之前用了4小时， 即3（X+20）=4X => X=60 S=（4+3）×（60+20）=560千米 解2：工程法。设总路程为1份工程量，甲工效每小时开1/7份， 而甲乙共同4小时完成1份，所以甲乙联合工效为1/4 即1/7+1/乙 =1/4 => 1/乙=3/28。甲乙功效相差