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第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)
一、平均变化率
【例1】(2018·上海市吴淞中学高三期中)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图像是( )
A.B. C.D.
【答案】D
【分析】
根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可;
【详解】
解:不妨设A固定,B从A点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧AB长度很小,这时给x一个改变量,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢;
当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快;
从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.
由上可知函数y=f(x)的图像应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D正确.
故选:D.
【例2】(2022·北京延庆·高二期末)函数在区间上的平均变化率等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】
函数在区间上的平均变化率等于
故选:C
【例3】(2021·广西河池·高二阶段练习(理))在导数定义中“当时,”,( )
A.恒取正值 B.恒取正值或恒去取负值
C.有时可取 D.可取正值可取负值,但不能取零
【答案】D
【分析】
根据题意,由导数的定义分析可得答案.
【详解】
解:根据题意,当时,,
的值可取正值和负数,但不能取0;
故选:D.
【例4】(2021·江苏·高二专题练习)“天问一号”于2021年2月到达火星附近,实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨,在距离火星表面100 m时,“天问一号”进入悬停阶段,完成精避障和缓速下降后,着陆巡视器在缓冲机构的保护下,抵达火星表面,巡视器在9 min内将速度从约20000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v,着陆过程中速度的平均变化率为a,则( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【答案】D
【详解】
巡视器与火星表面的距离逐渐减小,所以.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小,所以.
故选:D.
二、瞬时变化率
【例1】(2021·广西·高三阶段练习(文))已知某物体位移(米)与时间(秒)的关系是,则速度为9米/秒的时刻是( )
A.1秒末 B.0秒末
C.3秒末 D.1秒末或3秒末
【答案】C
【分析】
由位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度,即令,从而可求得结果
【详解】
依题意,,由对求导得:,
而位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度,由速度为9,
即得:,,
所以速度为9米/秒的时刻是3秒末.
故选:C
【例2】(2021·全国·高二课时练习)一物体的运动满足曲线方程s(t)=4t2+2t-3,且s′(5)=42(m/s),其实际意义是( )
A.物体5 s内共走过42 m
B.物体每5 s运动42 m
C.物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s
D.物体以t=5 s时的瞬时速度运动的话,每经过1 s,物体运动的路程为42 m
【答案】D
【分析】
根据瞬时速度的定义即可得出选项.
【详解】
由导数的物理意义知,
s′(5)=42(m/s)表示物体在t=5 s时的瞬时速度.
故选:D.
【例3】(2021·山东·高三阶段练习)现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积(单位:)与直径(单位:)的关系式为,估计当时,气球体积的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
求导后,代入即可求得结果.
【详解】
设,则,,
即当时,气球体积的瞬时变化率为.
故选:C.
【例4】(2021·北京海淀·高二期中)一个小球作简谐振动,其运动方程为,其中(单位:是小球相对于平衡点的位移,(单位:)为运动时间,则小球的瞬时速度首次达到最大时,( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【分析】
求出导函数后,由余弦函数性质得结论.
【详解】
小球的瞬时速度为,,,
因此首次达到最大值时,.
故选:D.
【例5】(2021·重庆·高二期末)1999年12月1日,大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》,大足石刻创于晚唐,盛于两宋,是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量(单位:太贝克)随时间(单位:年)的衰变规律满足函数关系:,其中为时碳的含量,已知时,碳的含量的瞬时变化率是(太贝克/年),则( )太贝克.
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根
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