几何与代数：2-5 矩阵的秩.ppt

2.5 矩阵的秩 一、 矩阵秩的概念 二、 矩阵秩的计算 三、 矩阵的标准形（分解） 四、 三个证明例子 2.5 矩阵的秩 一、 矩阵秩的概念 矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A的秩 显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 秩，记为R(A) = r. 定义 子式一般不唯一. 矩阵的秩的另一种理解： 例 解 例2 求矩阵的秩： 解 为什么？ 解 计算A的3阶子式， 基本结论与性质 1. R(A)=0 ? A=O； 2. R(A)≥ r ? A有一个r 阶子式不为零； 3. R(A)≤ r ? A的所有r +1阶子式全为零。 (满秩矩阵——可逆矩阵 降秩矩阵——不可逆矩阵) 例3 解 二、矩阵秩的计算 对于行阶梯形矩阵A, R(A) = A的非零行的行数. 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 解 所以 R(A) = 2. 例4 求矩阵的秩: R(A) = r ? 经行初等变换能将A化为具有r个非零行 的行阶梯形矩阵. 解2 显然，非0行的行数为2， 此方法简单！ 例5 解 分析： 法1 法2 对任意矩阵A,  证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得Q= E1? ? ? Et， AQ =A E1? ? ? Et， 即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他. R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 推论 三、矩阵的标准形（分解） (问：矩阵等价的充要条件是什么？) (A与B等价?存在可逆的P,Q使得A=PBQ) 定理2 证 （为什么？） r = R(A). 推论 同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B). 例6 设 求A的标准形. R(A) = 2. 解 四、三个证明例子 例7 设A为n阶矩阵(n≥2)，证明 证 ①若R(A)=n: ② R(A) < n-1 : detA≠0， A中所有n-1阶子式均为零， 例8 证明 证 存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得 可逆矩阵， 为什么？ 即 由此可知 例9 证