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几何与代数:5-4实对称矩阵的相似对角化.
二、实对称矩阵的特征值与特征向量 推论2 实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 . 三、实对称矩阵的相似对角化 例 例 求 a , b 的值与正交矩阵 C , 使 例 实对称矩阵 A 与 B 相似 四、本章综合例题 例 例 设 A 是 3 阶矩阵,且 I + A , 3I-A ,I-3A 均不可逆 .证明 : 例 设 A 是 3 阶矩阵, A-1的特征值是 1, 2, 3 , 例 设矩阵 例 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3, 解 A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 : 解 § 5.4 实对称矩阵的相似对角化 一、共轭矩阵 二、实对称矩阵的特征值 与特征向量 三、实对称矩阵的相似对角化 四、综合例题 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定 即存在可逆矩阵P , 使得 更可找到正交矩阵C 可以对角化. 使得 一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质: 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数 . 证 (重根按重数计算) 推论1 定理2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 . 证 证明略 定理3 结论 解 解 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵P, 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 解 { 证 例 设 n 阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是 a , 求 A 的一个特征值与特征向量 . 解 解 解 解 * * * *
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