几何与代数：5-1 基本概念与计算.ppt

特征子空间 特征值的重数与其对应的线性无关特征向量个数的关系: 例 设 例 设矩阵 A 可逆, 且 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 . 例 设A是奇数阶实矩阵， §5. 1 基本概念与计算 §5. 3 n维向量空间的正交化 §5. 4 实对称矩阵的相似对角化 §5. 2 矩阵的相似对角化 一、特征值与特征向量的定义 三、特征值与特征向量的计算 § 5.1 基本概念与计算 二、特征值与特征向量的性质 一、特征值与特征向量的定义 例 矩阵 定义 设A是n阶方阵， 成立， 是方阵A的一个特征值， 是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量. 若数 和n维非零列向量 ，使得 例 则称 二、 性质 三、特征值与特征向量的计算 称为矩阵A的特征方程, 定义 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式, 特征方程 解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解. 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 自由未知量 令 得基础解系 常数)是对应于 的全部特征向量. 齐次线性方程组为 常数)是对应于 的全部特征向量. 得基础解系 解 系数矩阵 (不证,知道结论即可) 求A的特征值与特征向量. 解 例 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 解 矩阵A的特征多项式为 得基础解系为 常数)是对应于 的全部特征向量. 得基础解系为 常数)是对应于 的全部特征向量. 对角矩阵以及三角形矩阵的特征值为其主对角元. 求数量矩阵 的特征值和特征向量. 解 而所有n维非零向量都是此数量矩阵的特征向量，即特征向量可表示为 解 例 证 证 证 例 设 为矩阵 的特征值, 求 的特征值； 若 可逆，求 的特征值. 解 解 * * * *