几何与代数：4-2 向量组的线性相关性.ppt

* 例 解 * 初等行变换 * 齐次方程的解为 所以，齐次方程有非0解 有非0解 * 定理 设有m维向量组?1, ?2, …, ?n, A =(?1, ?2, …, ?n), 1o ?1, ?2, …, ?n线性相关; 2o AX = 0有非零解; 有不全为零的数 x1, x2, …, xn使 1o ?2o： ?1, ?2, …, ?n线性相关 证 3o 则下列命题等价： （无关） （只有零解） * 设 R(A) = r, 2o ?3o： AX = 0有非零解 r < n * 推论 设有n维向量组?1, ?2, …, ?n , A =(?1, ?2, …, ?n), 1o ?1, ?2, …, ?n 线性相关; 2o AX = 0有非零解; 3o det A = 0. 向量个数 = 向量维数： 则下列命题等价： （无关） （只有零解） （det A = 0） * 推论 向量个数 >向量维数 的向量组必线性相关. 证 R( A) ≤ m < n, 所以 ?1, ?2, …, ?n 线性相关. 在Rn中，任 n + 1个向量必线性相关. 设 A =(?1, ?2, …, ?n) m×n, n> m, 则 * 例 判断向量组?1 =(0,1,1), ?2 =(1,0,1), ?3 =(1,1,0)的 解1 所以,?1, ?2 ，?3线性无关. 解2 R( A) = 3, 所以，?1, ?2 ，?3线性无关. 线性相关性. * 例 解2 4个3维向量， 一定线性相关， * 解 因方程组只有零解 * 判断向量组 解 * 由克莱姆法则，上述方程只有零解 * 证 例 * * 线性相关性的基本定理 定理 若?1, ?2, …, ?m线性相关， 证 x1?1+ x2?2+ …+ xm?m + 0?m+1+ …+ 0?n = 0. x1, x2, …, xm, 0, …, 0 不全为零， 则?1, ?2, …, ?m , ?m +1 , …, ?n 线性相关. 由?1, ?2 , …, ?m线性相关，知 有不全为零的数 x1, x2, …, xn 使 x1?1+ x2?2+ …+ xm?m = 0. 故?1 , ?2 ,…, ?n 线性相关. * 定理 若?1, ?2, …, ?m线性相关， 部分相关，则整体相关 整体无关，则部分无关 则?1, ?2, …, ?m , ?m +1 , …, ?n 线性相关. 等价命题 则其任意一个部分组线性无关。 若一个向量组线性无关， * 　 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 即有 等价命题：向量组线性无关的充分必要条件是其 中任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示。 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 定理 * 故 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 * 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　 则有 即 能由其余向量线性表示. 则有不全为0的数　　　　　　使 * 定理: 向量组A: 线性无关,而向量组 B: 线性相关,则向量 必能由 向量组A线性表示,且表示式是唯一的. 向量组B: 线性相关 证明 则有不全为0的数　 若k=0，则（1）式变为： 使 * 则有不全为0的数　 若k=0，则（1）式变为： 所以，由（1）向量 必能由向量组A线性表示. 使 线性相关 * 所以表示式是唯一的. 定理: 向量组A: 线性无关,而向量组 B: 线性相关,则向量 必能由 向量组A线性表示,且表示式是唯一的. * 证明 例 或 * 例 * 矛盾！ * * * 3.向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关． 解 线性无关 * 1. 线性相关与线性无关的概念；（重点） 2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 定理．（难点） 小 结 * §4.2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 二、向量组的线性相关性 *