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上海科技版(沪科版)初中数学八年级下册全册教案.docx
第16章 二次根式
16.1 二次根式
教学目标
1.经历二次根式概念的形成过程,了解二次根式是开平方运算引出的结果,理解二次根式中被开方数a的实际意义,即a是非负数,以及a的非负性.
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程,理解二次根式的性质1、性质2,了解其区别与联系,并能运用性质1,2解决一些问题.
3.在二次根式概念、性质的形成和探索中,鼓励学生积极探究,乐于合作与交流,发展学数学用数学意识、分类讨论的意识,了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想.
教学重难点
重点:经历二次根式的概念、性质的探索和形成过程.
难点:正确理解a2=∣a∣=
教学过程
导入新课
问题1 什么叫做平方根?
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果x2=a(x≥0),那么x称为a的算术平方根,用a(a≥
问题3 什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或0.
思考:用带根号的式子填空,这些结果有什么特点?
(1)若一个正方形的面积为3,则其边长为_____m;一个面积为S 的正方形,其边长为_____m.
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为____m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与开始落下的高度h (单位:m)满足关系h =5t2,如果用含有h的式子表示 t,那么t为_____.
答案:(1)3 S (2)65 (3)h
探究新知
探究一 二次根式的定义
一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.
判断一个数(或式)是不是二次根式必须同时满足: = 1 \* GB3 ①根指数为2; = 2 \* GB3 ②被开方数为非负数.
【学生活动】观察“思考”中得出的问题答案,分析它们的结构形式,总结它们的特征.
【教师活动】根据学生提供的结论,得出二次根式的定义.
探究二 二次根式的性质
问题1 二次根式(a)2
当a>0, (a)2表示a的算术平方根的平方,因此
当a=0, (a)
这就是说,当a≥0时,(a)2
类似地,计算
(5)2= 5 ,(75)2
【学生活动】根据所探究的内容先填空,再在小组内交流,总结(
在a 的值一定时,(a)2
【师生总结】①(a)2的被开方数a的取值范围是
② (a)2=a
问题2 二次根式a2的被开方数a
当a>0, a2表示a2的算术平方根,因此a
当a=0, a2表示0的算术平方根,因此
当a<0, a2表示a2的算术平方根,因此a2
这就是说,当a≥0时,a2=a; 当a<0时,a2=-
类似地,计算
(75)2= ,0.52= 0.5 ,
(-75)2= ,(-0.5)
【学生活动】根据所探究的内容先填空,再在小组内交流,总结a2 的值与a
【师生总结】a2=∣a∣=
例题讲解
【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.
(1) 32; (2)6;
(4) -m(m≤0); (5) xy; (6)a2+1 ;
【解】(1)(4)(6)是二次根式.
(2)没有开方运算;
(3)被开方数是负数;
(5)xy可能是负数;
(6)根指数不是2.
【学生活动】指出每一个式子的特点,初步判断,不是二次根式的说出理由.
【师生总结】判定一个式子是不是二次根式有两个条件:一是不是含有二次根号;二被开方数是不是非负数.
跟踪练习 1.下列各式是否为二次根式?说明理由.
(1)5;
(2)-6;
(3)37
(4)-1a(a<
解:(1)5是二次根式;
(2)-6,被开方数小于零,不是二次根式;
(3)37
(4)-1a(a<
【例2】 x为何值时,下列式子在实数范围内有意义?
(1)x+3
(2)x2
【解】(1)要使x+3有意义,必须x+3≥
解这个不等式,得x≥-3.
即当x≥-3时, x
(2)因为x为任何实数时都有x2≥
所以当x为一切实数时, x
【学生活动】根据二次根式的定义,确定被开方数为非负数列不等式求解,写出解题过程,小组内交流.
【师生总结】二次根式有意义的条件是:被开方式是非负数.
跟踪训练 2.当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
(1)a-1; (2) 2a+3
【解】(1)∵ a-1≥0,∴ a≥1;
(2)∵ 2a+3≥0,∴ a≥ ;
(3)∵ -a≥0,∴ a≤0;
(4)∵ 5-a>0,∴ a<5.
【例3】 计算:
(1) (-
(2)(1-
【解】(1) (-5)2=52=5或(
(2) (1-2)2=|1-2∣=-
【例4】 先化简再求值:
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