2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义12 高斯函数.docVIP

第十二讲 高斯函数 知识要点 不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作. 例如，，. 这一规定最早为大数学家高斯所使用，故称为高斯函数. 高斯函数的性质： （1）的定义域为实数集，值域为整数集； （2）； （3）； （4）当，； （5）设n为整数，则； （6）； （7）对任意正实数有. 特别地，对正数x及正整数n有，； （8）对正实数x、y有； （9）设n为正整数，则； （10）对整数x，有，对非整数x，有； （11）对正数m和n，不大于m的n的倍数共有个； （12）①，②，③（n为整数）； （13）设p为任一素数，在n！中含p的最高乘方次数记为，则 . 例题精讲 计算的值. （2017共出现了2017次） 计算的值. 已知，且满足，求的值. 在中，有多少个不同的整数？ 解方程. 解方程. 解方程. 证明：对于任意实数x，有. 习题巩固 设，求. 求的值. 计算的值. 在中，有多少个不同的整数？ 解方程. 解方程. 解方程. 解方程. 解方程. 求满足的所有x的和. 解方程. 设表示不超过x的最大整数，求方程的解. （1）从1017到2017的整数中，有多少个数是7的倍数？ （2）如果，求最大的正整数k. 自招链接 求不超过的最大整数. 用表示不大于x的最大x的整数，如. 解方程： . 参考答案 例题精讲 为了方便表述，记（n个2017），则 . 所以 ， 即. 所以 ， 即. 同理：. 所以. 由题意，. 事实上，当为整数，而a、b均不是整数时，有为整数，则为整数，又，所以，故. 根据上面结论，将原式首尾配对，共有251对，所以. 因为，故则或1，共有18个1，由性质（4）可知，前面11项均为0，后面18项均为1，即 ， . 所以解得，故. 所以. 设. 当时，必有，此时，解得，所以，从0到503的整数都能取到，当时，必有，此时，所以是不同的整数，从而，共有个不同的整数. （法一）原方程化为，代入得，得，则可能取值为、，对应的x取值为、. 经检验，和均为原方程的解. （法二）原方程化为，代入，得，得，故或，对应的x取值为、. 经检验，和均为原方程的根. 原方程化为，代入得，解得或. 所以的可能取值为、2、3，对应的x取值分别为、、3. 经检验或或均为原方程的解. 去分母，将原方程化为，当时，只需满足x为非零整数；当时，，将代入得. 当时，，此时无整数解，当时，，解得，此时. 当时， ， . 所以； 当时， ， ， 所以，. 因此，对于任意实数x，恒成立. 习题巩固 考虑的整数部分. ， 所以 ， 整数部分为，故 故. 考虑，其中，因为，故，原式. 首尾配对，原式. 设. 当时，必有，此时，解得，故从0到8的整数都能取到； 当时，必有，此时，所以是不同的整数，从而共有个不同的整数. 将原方程代入得，解得，则，即，所以的可能取值为、，对应的x取值为、，经检验或为原方程的解. 由题意，得，解得：，所以，经检验为原方程的解. 由题意，得. 估算一下x的范围，得到：，所以. 由题意，得，得或，所以，代入检验得. 由于，，所以：，即：，解得：，故. 所以，对应的x为，经检验或为原方程的解. 原方程化为，所以，可得，于是，从而，满足条件的x为： ， 和为：. 代入得，即，由得，故，所以. 将代入得，解得，1，所以. （1）1到2017的整数中有个7的倍数，1到1016的整数中有7的倍数个，故1017到2017的整数中有个7的倍数； （2）2017！中含有7的次数为，1016！中含有7的次数为，故k的最大值为. 自招链接 设，则 ， ， ， 因为，所以. 所以求不超过的最大整数是7039. （1）当x是整数，则，所有非零整数都是原方程的解. （2）当x不是整数，则，由原方程得. 所以 . 当，则. 代入①，得. 当时，，这样的整数不存在； 当时，，只有整数满足，此时. 综上所述，原方程的解为所有非零整数和.