2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义11 组合.docVIP

第十一讲 组合 知识要点 组合问题非常考验同学们的思维能力，其中组合计数、概率等问题是自招考试的高频考点，抽屉原理、染色问题、极端原理等偶尔也会出现． 一、乘法原理 一般地，如果完成一件事需要n个步骤（缺一不可），第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第3步有m3种不同的方法……第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 二、加法原理 一般地，如果完成一件事有n类步骤（每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情），第1类有m1，种不同的方法，第2类有m2种不同的方法，第3类有m3种不同的方法……第n类有mn种不同的方法，则完成这件事一共有种不同的方法． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 三、排列 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做或. . 四、组合 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时．才是不同的组合． 从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作或. 例题精讲 回答下列问题： （1）在1～5的自然数可以组成的五位数共有几个？ （2）有3种染料给三行144列的方格网染色，一共有多少种染色方法（只列式，不计算）？至少取多少列方格，才能保证有两列方格染色完全相同？ （3）从十位同学中任意选取2名同学，一共有多少种选法？ （4）爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？ （5）图11-l中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形？ （6）某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站，现在新增加了3个车站，这样需要增加几种不同的车票？ 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？ 小明的妈妈给了小明9块一样的糖，让他在接下来的4天正好吃完，每天至少吃一块，则小明有多少种不同的吃糖方案？ 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？ 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？ 给定一个15×15的方格表，将其中有公共边的方格称为相邻的．将某些相邻方格的中心用线段相连，得到一条不白交的闭折线．现知该折线关于方格表的一条对角线对称．证明：折线的长度不大于200． 物体A和B放在坐标平面上同时移动，且每次移动一个单位长度，A从（0，0）开始移动每次以相同的可能性向右或向上移动，物体B从（5，7）开始移动，每次以相同的可能性向左或向下移动，问两物体相遇的可能性是多少？ 摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，问最少要拍多少张照片？ 某同学在暑假里做数学竞赛题，每天至少做一题，每星期至多做12题，一共做了7个星期，求证：该同学在连续的若干天里恰好做了12道题． 平面上有20个点，在他们之间已连了n线段，若任意三点之间都至少有一条线段．求n的最小值． 20个红球、17个白球，重量都是正整数．红球与白球重量之和相等，且都小于340．证明：一定可以取出一些红球和一些白球，使得这些红球重量之和等于这些白球重量之和（不能全取）． 习题巩固 某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电