2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义10 数论.docVIP

第十讲 数论 知识要点 由于数论在中考中涉及的考点几乎没有，同学们接触极少，所以当它出现在自招考试中往往会造成大范围失分.反之，对数论较为熟悉的同学也因此能在自招考试中取得优势. 数论涉及的考点比较广，其中整除、同余、奇偶性、质数合数、完全平方数及一元二次方程整数根问题等在自招中出现得比较频繁. 数的整除特征： 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除. 2.一个各位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除. 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 例题精讲 用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除.这个六位数是多少？ 如果甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 方程的整数解的个数是_. 若正整数n使得是由同一个数字组成的三位数，则符合条件的n为_. 同余的基本性质 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：，左边的式子叫做同余式. 同余具有下面的性质： （1）自反性 ； （2）对称性 ； （3）传递性 ，. 设a、b、c、d是整数，并且，则 （1）； （2）； （3）. 试求除以17的余数. 完全平方数常用性质 1.主要性质 （1）完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9.不可能是2、3、7、8. （2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数. （3）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数. （4）若质数p整除完全平方数，则p能被a整除. 2.一些重要的推论 （1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数. （2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数. （3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96. （4）完全平方数个位数字是奇数（1、5、9）时，其十位上的数字必为偶数. （5）完全平方数个位数字是偶数（0、4）时，其十位上的数字必为偶数. （6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数. （7）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1、4、9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数. 有一个四位数，它是一个完全平方数，求a. 设正整数n至少有4个不同的正约数，且是n的最小的4个正约数，它们满足.求所有这样的n. 正整数n恰好有4个正因数（包括1和n）已知其中两个因数之和是另两个因数之和的六倍.求n的值. 求所有的整数数组，使得 已知质数p使得恰有30个正因数.则p的最小值为多少？ 有四个数，每三个数的积被第四个数除后余一，求这四个数. 习题巩固 试求被7除的余数. 使得整除的正整数n共有多少个？ 若n为正整数，且满足，则n的可能值有多少个？ 方程的所有不同整数解的个数为多少？ 已知正整数x、y.求的解. 一个三位数是它的各位数字之和的29倍.则这个三位数是多少？ 设，，，其中，a、b、c是质数，且满足，.问：a、b、c能否构成三角形的三边？如果能，求出三角形的面积；如果不能，请说明理由. 已知a、b是整数，c是质数，且.则有序数对有多少组？ 若a、b均为质数，且，则的末位数字是多少？ 设x为正整数，且，则使能被12整除的共有多少个？ 已知p为大于5的质数，且m为除以120的余数.则的个位数字是多少？ 对正整数n，记.若，则M的正因数中共有完全立方数多少个？ 自招链接 已知某个直角三角形的两条直角边长都是整数，且在数值上该三角形的周长等于其面积的整数倍.问：这样的直角三角形有多少个？ 方程的正整数解共有多少组？ 参考答案 例题精讲 因为，所以组成的六位数可以被8、3、7整除. 能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数.在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由数的整除性质4知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数. 至于能否被3整除可以