2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义7 几何定理.docVIP

第七讲 几何定理 知识要点 在几何证明中有很多定理十分的有趣，在介绍这些定理之前，先介绍一下正弦定理与余弦定理. 正弦定理与余弦定理是揭示三角形中边角之间的数量关系的两个重要定理，而三角形是最基本、最重要的几何图形，所以它们是联系三角与几何的纽带.因此，正弦定理和余弦定理有着极广泛的应用，它们在代数方面主要用于解斜三角形、判定三角形形状等等；在几何方面主要用于计算、证明以及求解几何定值与几何最值等等. 正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.这个表述等价于：在三角形中，各边之比等于它所对的角的正弦之比. 有，此式变形得. 余弦定理：在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.这个表述等价于：任何一角的余弦等于它的两条夹边的平方和减去对边的平方的差除以夹边乘积的两倍所得的商. 有，，. 变形得，，. 以上的证明过程可以使用勾股定理来证明. 例题精讲 （梅氏定理）如图7-1，E、M分别为AB、AC上的任意一点，D为EM与BC延长线的交点，求证：. （塞瓦定理）如图7-3，在中，、与相交于点O.试证明：. 若钝角三角形的三边分别为、2、x，试求x的取值范围. 证明：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍. 证明：（斯德瓦尔特定理）如图7-5，中，D是BC上任意一点，则有. 证明斯坦纳（Steiner）定理：若P为内任意一点，作，交BC于点D，作于点E，作于点F.则. 证明笛沙格定理：如图7-7，平面上有两个三角形、，设它们的对应顶点（A和、B和、C和）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线. 证明阿波罗尼斯圆：如图7-8，到两定点A、B的距离之比为定比（值不为1）的点E，位于将线段AB分成的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上. 证明西姆松定理： （1）如图7-11，从外接圆上任一点P向三边AB、BC、CA所在直线引垂线，设垂足分别为点D、E、F，则点D、E、F共线. （2）由外一点P向其三边AB、BC、CA所在直线引垂线，垂足为点D、E、F.若点D、E、F共线，则点P必在的外接圆上. 习题巩固 证明海伦公式：，，a、b、c为三边长. 如图，AM是的BC边上的中线，求证：. 证明：若G为的重心，P为所在平面上任意一点.则 . 证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍. 如图，四边形ABCD的对边AB与CD、AD与BC分别相交于点L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD、AC分别交于点F、G.求证：. 在中，已知，求证：. 若a、b、x、y是实数，且，.求证：.（请用几何方法） 如图，已知AD、BE、CF是的三条高，点D在直线AB、BE、CF、CA上的射影分别是点M、N、P、Q.求证：M、N、P、Q四点共线. 已知四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为点E、F，则直线EF平分线段BD. 自招链接 （托勒密定理）已知，四边形ABCD内接于圆，求证：. 某人在学习了三角形面积的海伦公式（若一个三角形的三边长分别是a、b、c，则它的面积，其中）以后，（1）他试图用例子说明，存在着两个不全等，并且边长是正整数的等腰三角形，它们的周长相等，而且面积相等.为了方便，他设定两个等腰三角形的底边边长之比为2.请你按上述思路给出一组满足要求的例子.（2）两个等边三角形面积相等，它们一定全等；两个等腰直角三角形也是如此.除此之外，请你考虑，能否以两个三角形周长相等，面积相等为前提，再附加一个有关三角形形状特征的条件，从而推导出此时这两个三角形必定全等？ 参考答案 以下提供的是面积法证明梅氏定理（爱因斯坦称为优雅的证明，利用平行线的是丑陋的证明）. 如图7-2，连结AD、BM. ，，. 故. 由和有公共底边OA，而这两个三角形OA上的高之比为. 所以.同理，，. 三式相乘，化简得：. 若x为最大边，设钝角为，，又，解得. 又，所以. 若2为最大边，，又，解得. 又因为，得. 综上，或. 事实上，如图7-4，AD、BE、CF分别为的三条高，D、E、F分别为垂足，H是垂心.O是的外心，M、N、L分别是BC、CA、AB的中点，则OM、ON、OL即为外心O到三边的距离. 取BH的中点P，连结PL、PM，则，，，. 而，，则，，即四边形PMOL为平行四边形.（或连结PO，有）有 ， . 同理，. 如图7-6所示，过点A作BC的垂线，垂足为点E，则有，，. 故 . 即. 点评：由斯德瓦尔特定理可以得出很多有用的结论，比如上例，令本例中，则很快得出上例的结论以及中线长的公式，一般地，只要的三条边已知，BC上一点D的位置已知，则AD