专题七 鳄鱼模型(解析版).docxVIP

专题七　鳄鱼模型 【方法总结】 鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝eq \f(m2＋n2－2 mncosα,sin2α)＋eq \f(l2,4)(其中l＝|AB|)解决． 【例题选讲】 [例]　(1)在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________． 答案　　解析　如图，取中点，连接，，因为与均为边长为2的等边三角形，所以，，则为二面角的平面角，即，设与外接圆圆心分别为，，则由，可得，，分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为，连接，，则由对称性可得，所以，则，则三棱锥外接球的表面积， (2)在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________． 答案　　解析　沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，又因为，所以折叠后，设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，所以，所以，又，所以球心半径，所以． (3)在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A－BD－C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________． 答案　eq \f(\r(21),3)　解析　因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，设BD的中点为O2，则O2为△BCD外接圆的圆心，由AB＝AD＝2，∠BAD＝60°知，△ABD为等边三角形，设△ABD的外接圆的圆心为O1，连接AO2，则O1在线段AO2上，过O1，O2分别作平面ABD与平面BDC的垂线，交于点O，则O为四面体ABCD外接球的球心，过O2在平面BCD内作O2E⊥BD，交DC于点E，则∠AO2E＝150°，所以∠AO2O＝60°，又O1O2＝eq \f(\r(3),3)，所以OO1＝1，连接OA，又AO1＝eq \f(2\r(3),3)，所以OA＝eq \r(AO\o\al(2,1)＋OO\o\al(2,1))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋1)＝eq \f(\r(21),3)． (3)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ eq \r(2)，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－ eq \f(\r(3),3)，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是(　　) A．4π　　　　　　　　B．6π　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．9π 答案　B　解析　如图，取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－ eq \f(\r(3),3)．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ eq \r(2)，则AC＝ eq \r(AB2＋BC2)＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝ eq \r(SC2－CD2)＝ eq \r(4－1)＝ eq \r(3)，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝ eq \f(3＋1－SB2,2×\r(3)×1)＝－ eq \f(\r(3),3)，解得SB＝ eq \r(6)．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝( eq \r(6))2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝ eq \f(\r(6),2)，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝ eq \f(SB,2)＝ eq \f(\r(6),2)，EC＝ eq \f(SB,2)＝ eq \f(\r(6),2)，所以点E为该球的球心，半径为 eq \f(\r(6),2)，所以该球的表面积为S＝4×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)＝6π，故选B． (4)已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　取中点，中点，易知，，，且平面平面，作交的延长线于，则平面，球心在过与平面垂直的直线上如图：作于，设，由已知条件可得，，，，从而，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，由解得，，， (5)在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为________． 答案　　解析　如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，则为二面角的平面角的补角，即有，易知面，则，而为等边三角形，所以为中点，设，，，则，故三棱锥的体积为：，当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，设三棱锥的外接球的球心为