专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(解析版).docxVIP

专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小 【知识总结】 此类涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解。 【例题讲解】 一、x与f(x)的组合函数 【例1】若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)1，则不等式f(x)－x0的解集为________。 【解析】　令g(x)＝f(x)－x，所以g′(x)＝f′(x)－1。由题意知g′(x)0，所以g(x)为增函数。因为g(2)＝f(2)－2＝0，所以g(x)0的解集为(2，＋∞)。 【答案】　(2，＋∞) 【例2】π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　) A．3e,3π B．3e，eπ C．e3，π3 D．πe,3π 【解析】　构造函数f(x)＝eq \f(lnx,x)，f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2)，当f′(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f′(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减。故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)。因为e3π，所以eln3elnπ，πlneπln3，即ln3elnπe，lneπln3π。又函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，故3eπeπ3，e3eπ3π，故这六个数中的最大数为π3或3π，由e3π及函数f(x)＝eq \f(lnx,x)的单调性，得f(π)f(3)f(e)，即eq \f(lnπ,π)eq \f(ln3,3)eq \f(lne,e)，由eq \f(lnπ,π)eq \f(ln3,3)，得lnπ3ln3π，所以3ππ3，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e。故选A。 【答案】　A 二、ex与f(x)的组合函数 【例1】已知f(x)(x∈R)有导函数，且?x∈R，f′(x)f(x)，n∈N*，则有(　　) A．enf(－n)f(0)，f(n)enf(0) B．enf(－n)f(0)，f(n)enf(0) C．enf(－n)f(0)，f(n)enf(0) D．enf(－n)f(0)，f(n)enf(0) 【解析】　设g(x)＝eq \f(f?x?,ex)，则g′(x)＝eq \f(f′?x?ex－f?x?ex,e2x)＝eq \f(f′?x?－f?x?,ex)0，g(x)为R上的增函数，故g(－n)g(0)g(n)，即eq \f(f?－n?,e－n)eq \f(f?0?,e0)eq \f(f?n?,en)，即enf(－n)f(0)，f(n)enf(0)。故选A。 【答案】　A 【例2】设a0，b0，e是自然对数的底数，则(　　) A．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab B．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab C．若ea－2a＝eb－3b，则ab D．若ea－2a＝eb－3b，则ab 【解析】　因为a0，b0，所以ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋beb＋2b。对于函数y＝ex＋2x(x0)，因为y′＝ex＋20，所以y＝ex＋2x在(0，＋∞)上单调递增，因而ab成立。故选A。 【答案】　A 【例题训练】 一、单选题 1．设则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，利用导数分析的单调性，从而判断出的大小关系. 【详解】 设，所以，令，所以， 所以时，，单调递增；，，单调递减， 因为，且，所以， 故选：B. 【点睛】 方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法： （1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性； （2）先比较处于同一单调区间的函数值大小； （3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小. 2．是定义在上的非负?可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造新函数求导利用新函数的单调性得解. 【详解】 设则因为；所以时，则函数在上是减函数或常函数；所以对任意正数a，b，若，则必有 是定义在上的非负?可导函数, 两式相乘得 故选A 【点睛】 本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题.. 3．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 构造函数，可得在的单调性，可得答案. 【详解】 解：令，得， 由时，，得，在上单调递减， 又，，， 可得，故，故， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适