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江苏省2013届高考数学(苏教版)二轮复习专题19 附加题23题
?1?江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B级要求,2011年、2012年高考中均没有考查,预测2013年高考中可能会考查;
?2?江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B级要求,2009年、2010年、2012年高考没有考查,2011年高考考查空间角的概念,求线段的长.预测2013年高考会考查.
eq \a\vs4\al([典例1])
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过焦点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D,E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式.
[解] (1)由题意,可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上,所以p=1.因此,抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0)),又直线OA的斜率为eq \f(2,2)=1,故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.
因此,所求直线的方程是x+y-eq \f(1,2)=0.
(3)法一:设点D和E的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),直线DE的方程是y=k(x-m),k≠0.
将x=eq \f(y,k)+m代入y2=2x,有ky2-2y-2km=0,
解得y1,2=eq \f(1±\r(1+2mk2),k).
由ME=2DM,知1+eq \r(1+2mk2)=2(eq \r(1+2mk2)-1),
化简得k2=eq \f(4,m),因此
DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,k2)))(y1-y2)2
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,k2)))eq \f(4?1+2mk2?,k2)=eq \f(9,4)(m2+4m).
所以f(m)=eq \f(3,2) eq \r(m2+4m)(m0).
法二:设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(s2,2),s)),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,2),t)),
由点M(m,0)及=2得
eq \f(1,2)t2-m=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m-\f(s2,2))),t-0=2(0-s).
因此t=-2s,m=s2,所以
f(m)=DE= eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2s2-\f(s2,2)))2+?-2s-s?2)
=eq \f(3,2) eq \r(m2+4m)(m0).
本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力.
eq \a\vs4\al([演练1])
(2012·徐州信息卷)过直线x=-2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)若切线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
(2)求证:直线AB恒过定点.
证明:(1)不妨设A(teq \o\al(2,1),2t1)(t10),B(teq \o\al(2,2),2t2)(t20),P(-2,m).
因为y2=4x,所以当y0时,y=2eq \r(x),y′=eq \f(1,\r(x)),所以k1=eq \f(1,t1).同理k2=eq \f(1,t2).
由k1=eq \f(2t1-m,t\o\al(2,1)+2)=eq \f(1,t1),得teq \o\al(2,1)-mt1-2=0.
同理teq \o\al(2,2)-mt2-2=0.
所以t1,t2是方程t2-mt-2=0的两个实数根.
所以t1t2=-2.
所以k1k2=eq \f(1,t1t2)=-eq \f(1,2)为定值.
(2)直线AB的方程为y-2t1=eq \f(2?t2-t1?,t\o\al(2,2)-t\o\al(2,1))(x-teq \o\al(2,1)),
即y=eq \f(2,t1+t2)x+2t1-eq \f(2t\o\al(2,1),t1+t2),
即y=eq \f(2,t1+t2)x+eq \f(2t1t2,t1+t2),由于t1t2=-2,
所以直线方程化为y=eq \f(2,t1+t2)(x-2),
所以直线AB恒过定点(2,0).
eq \a\vs4\al([典例2])
(2012·泰州期末)如图,在三棱锥P—ABC中,平面AB
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