直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结.doc

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线的方程 代入圆锥曲线的方程 ,消去(也可以消去)得到关系一个变量的 一元二次方程,,即 ,消去后得 (1)当时,即得到一个一元一次方程,则与相交,且只有一个交点,此时, 若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行;若为抛物线,则直线与抛物线 的对称轴平行 (2) 当时, ,直线与曲线有两个不同的交点; ,直线与曲 线相切,即有唯一的公共点(切点); ,直线与曲线 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线 ,曲线为与的两个不同的交点,坐标分别为,则是方程组 的两组解, 方程组消元后化为关于的一元二次方程() ,判别式 ,应有 ,所以是方程的根,由根与系数关 系(韦达定理)求出 , 所以两点间的距离为 ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于的形式 三, 已知弦的中点,研究的斜率和方程 (1) 是椭圆的一条弦,中点,则的斜率为 ,运用点差法求的斜率;设 ,都在椭圆 上,所以 ,两式相减得 所以 即，故 运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点 ，则；若曲线是抛物线 ，则 题型归纳及思路提示 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 思路提示 （1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。 （2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。 例10.35已知两点，给出下列曲线方程 ② ③ ④ 在曲线上存在点满足的所有曲线方程是 。（写出所以正确的编号） 分析 所选曲线上存在点满足，等价于曲线与线段 的垂直平分线有公共点。 解析 由，得线段的中点为 又 ，故线段 的垂直平分线为 即 ，显然①中直线与直线平行， 不符合题意， 对于②，因为圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交，符合题意。 对于③，由 ，消去 得 ，故直线与椭圆相切，符合题意。 对于④，由 ，消去 得 ，故直线与双曲线相交，符合题意。 综上所述，应填②③④ 变式1 对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 变式2 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 例10.36 如图10-26所示，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条直线垂直于 轴的直线分别与线段和直线交于两点. 若 ，求的值 若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线。 分析 ，通过联立直线与抛物线方程消去一个变量得一元二次方程，再利用韦达定理；当 ，即可证得为抛物线的切线。 解析 （1）设过点的直线为 则 ，得 ，由韦达定理可知 以为 两点在抛物线上，所以 ，则 故，即 得 或（舍） （2） ，即 故为此抛物线的切线 评注 过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于 两点，过两点的切线的交点在准线上，或过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，过两点的切线的交点在准线上。 如图10-27所示，过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，可得知如下性质： 过两点的切线的交点的轨迹为准线 两条切线 同理，对于抛物线上述结论仍成立 证：（1）易知直线的斜率存在，故设过焦点的直线方程为 ， 联立直线的方程与抛物线发方程，得 消得， 设过点的切线方程为 ① 同理，过点的切线方程为， ② 由①②得. 故过A,B两点的切线交与点Q,在准线上. （2）因为，所以，故，，＝＝ ，因此，. （3）＝，＝， ＝＝＝＋＝0. 因此，. 变式1 如图10-28所示，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点， 过点作直线的垂线交直线于点； 证明：直线与椭圆只有一个公共点. 图 10-28 图 10-28 题型2 中点弦问题 思路提示 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高 考的一个热点问题.这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题。首先要考虑是点差