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直线的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 二、基本公式 1. 两点间的距离公式 2. 的直线斜率公式 3.直线方程的几种形式 （1）点斜式：直线的斜率存在且过， 注：①当时，；②当不存在时， （2）斜截式：直线的斜率存在且过， （3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。 注：可表示经过两点的所有直线 （4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 （5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量） 题型归纳及思路提示 题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为 求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。这可通过画正切函数在上的图像来认识。 若三点共线，则___________. 分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。 解析 解法一：由题设可知， 即， 解法二：由题设可知， 即，即。 ， 解法三：由题设可知点在直线上，又由截距式方程得直线方程：，故。 评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。 变式1 若直线先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线重合，则直线的斜率为__________. 变式2 已知过两点的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围是___________. 例9.2 已知，点为一动点。 （1）当点在线段上运动时，求直线倾斜角的范围 （2）当点在线段上运动时，求直线的斜率的范围。 解析 （1）当点在线段上运动时，求直线斜率为，可得倾斜角的范围为。 （2）当点在线段上运动时，倾斜角范围为，可得斜率为直线的斜率的范围 评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括时，斜率分两段，可用正切函数上的图像求解。 变式1 若直线的倾斜角分别为，则下列四个命题正确的是（ ） A.若，则两直线的斜率 B.若，则两直线的斜率 C.若，则两直线的斜率 D.若，则两直线的斜率 变式2 若直线的斜率的变化范围是，则其倾斜角的变化范围是（ ） A. B. C. D . 变式3 直线经过两点（），那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D . 例9.3 已知直线过，且与以为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围。 分析 本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。 ①做出直线区域图；②求出区域边界斜率；③按逆时针方向旋转得到；④若，直接写出（或开区间），若过无穷，。 解析 解法一：如图所示，。因为过点且与轴垂直的直线与线段相交，但此时直线斜率不存在，直线绕点逆时针旋转到时，斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时斜率的范围是； 直线由（不包括）逆时针旋转至时，斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是。故所求直线的斜率的取值范围是。 解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当轴时，与线段相交，此时斜率不存在。当斜率存在时，设直线的方程为，即，要使与线段有交点，只需落在直线的两侧或直线上，则应满足，得或，故所求直线的斜率的取值范围是。 评注 本题主要用了数形结合的方法。另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。 变式1 已知线段两端点的坐标分别为，若直线与线段有交点，求实数的范围。 变式2 已知实数满足，试求的最大值与最小值。， 题型2 直线的方程 思路提示 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。 例9.4 求下列直线方程： （1）直线：过点，斜率； （2）直线：过点和点； （3）直线：过点，斜率。 分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。 解析 （1）由直线的点斜式方程得，整理得的方程为。 （2）解法一：由直线的两点式方程得，整理得的方程为。 解法二：直线的方程求解也可