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圆的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）. 注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值. 2.点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内. （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内. 题型归纳及思路提示 题型1 求圆的方程 思路提示 （1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法. （2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程： （1）的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A(6,5),B(0,1),且圆心在直线3x+10y+9=0上； （3）经过点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可. 解析 （1）解法一：设所求圆的方程为，则由题意有， 解得 故所求圆的方程为 解法二：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P(2,1),且半径 所以所求圆的方程为 即 （2）AB的中垂线与AB垂直，则斜率 AB的中点(3,3)，则由点斜式可得， 即线段AB的中垂线方程为3x+2y-15=0 由，解得，所以圆心为C(7,-3),又 故所求的圆的方程为 （3）设圆的方程为，将点P，Q的坐标分别代入，得 ，又令y=0,得.设是方程的两根，则由韦达定理有，由 有，即 解得或 故所求圆的方程为或 评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件. 变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程 例9.18 已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线y=x截得的弦长为，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求中的a,b,r，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为.由圆心在直线y=2x上，得b=2a（①） 由圆在直线y=x上截得的弦长为，将y=x代入， 整理得 由弦长公式，得 即，化简得（②） 由式①②可得或 故所求圆的方程为或 解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距，又弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0的距离，即，又已知b=2a，解得或 故所求圆的方程为或 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程. 变式1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程 例9.19 圆关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 解析 解法一：（推演法） 将圆的方程化为标准方程，得圆心为(1,0)，半径为，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则 ,得. 故对称圆的方程是 解法二：（排除法） 将圆的方程化为标准方程,得,则对称圆的半径也应为，故排除选项A,B，在选项C中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为，与直线垂直.故选C 评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变. 变式1 若不同两点P,Q的坐标分别为，,则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆关于直线l对称的圆的方程为______ 题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）. （1）直线系方程