三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结.doc

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 2.三角函数的图像与性质 在上 的图像 定义域 值域（有界性） 最小正周期 （周期性） 奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数 单调增区间 单调减区间 对称轴方程 对称中心坐标 最大值及对应自变量值 时 时 最小值及对应自变量值 时 时 函数 正切函数 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 单调性 在上是单调增函数 对称轴 无 对称中心 3.与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.例如，函数的图像向右平移个单位，得到的图像表达式是，而不是；再如，将图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是，而不是.此点要引起同学们的的别注意. 题型归纳及思路提示 思路提示 一般将所给函数化为或，，然后依据的性质整体求解. 题型1 三角函数性质的应用 一、函数的奇偶性 例4.16函数是R上的偶函数，则等于（ ） A.0 B. C. D. 解析 因为函数是R上的偶函数，所以其图像关于轴对称，有正弦函数的对称性知，当时，，又，所以.故选C. 评注 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知，函数为奇函数，则等于（ ）. A.0 B.1 C.-1 D. 变式2 设，则“”是“为偶函数”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不比哟啊条件 变式3设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）. A. B. C. D. 例4.17设函数，则是（ ）. 最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数 最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数 解析 ，所以是最小正周期为的偶函数.故选B. 变式1 若函数，则是（ ） 偶函数且最小正周期为 奇函数且最小正周期为 偶函数且最小正周期为 奇函数且最小正周期为 变式2 下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 二、函数的周期性 例4.18函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 解析 函数，.故选A 评注 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，. （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均. 变式1 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. B. C. D. 变式2 已知函数，则的最小正周期为_____. 变式3 设函数，则为（ ） 周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为 非周期函数 二、函数的单调性 例4.19函数为增函数的区间是（ ） A. B. C. D. 解析 因为， 所以的递增区间实际上是 的递减区间. 令， 解得. 令，得，又因为， 所以.即函数的增区间为.故选C 评注 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式. 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间.若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如，令，即，可得为原函