2020版高考数学（新课改省份专用）一轮复习（讲义）第八章 解析几何 第三节 椭圆.doc

第三节　椭圆 突破点一　椭圆的定义和标准方程 eq \a\vs4\al([基本知识]) 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2. eq \a\vs4\al([基本能力]) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (3)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 二、填空题 1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________． 答案：4eq \r(3) 2．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 答案：(－6，－2)∪(3，＋∞) 3．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________． 答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 eq \a\vs4\al([全析考法]) 考法一　椭圆的定义及应用　 [例1]　(1)(2019·衡水调研)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　) A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,11)＝1　　　　 　B.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,35)＝1 C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(3\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),4) D.eq \f(4\r(3),3) [解析]　(1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2eq \r(3)＞|AF|＝2， ∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝eq \r(3)，c＝1，∴b＝eq \r(2)， ∴动点P的轨迹方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选D. (2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则cos 60°＝eq \f(m2＋n2－?2c?2,2mn)＝eq \f(?2a?2－2mn－?2c?2,2mn)＝eq \f(1,2)，化简得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2，∵b2＝4，∴mn＝eq \f(16,3)，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(4\r(3),3).故选D. [答案]　(1)D　(2)D [方法技巧] 椭圆焦点三角形中的常用结论 以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的 △PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3) S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc. (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．　　 考法二　椭圆的标准方程　 [例2]　(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)