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曲面的面积 重心 转动惯量 引力 一、曲面和面积 二、重心 三、转动惯量 四、引力 * 数学分析—电子教案 新余高专精品课程 上一页 下一页 §1 重积分的应用 求由方程 所确定的曲面 S 的面积 对区域 D 作分割 T , 曲面面积的计算公式 先计算 Ai 的面积. 所以若曲面方程为 则该曲面的面积 S 为 说明: 则曲面面积 S ： 如果曲面方程为 如果曲面方程为 则有公式： 例1 求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积. 解 所求面积的曲面的方程为 所以 例. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . 设空间有n个质点, 由力学知, 分别位于 其质量分别为 该质点组的重心坐标为 设空间物体 V , 有连续密度函数 采用 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 可导出其 重心坐标公式. 求 V 的重心坐标. 将 V 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 的重心坐标. 例如, 此质点组的重心坐标就近似该物体 的质点, 其质量为 在第 i 块上任取一点 令各小区域的最大直径 即得 其中 m 为物体 V 的质量， 同理可得 则 其中 V 表示区域 V 的体积 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (SD 为 D 的面积) 则 则它的重心坐标为 其面密度为 例. 求位于两圆 和 之间均匀薄片的重心. 解: 利用对称性可知 而 质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J 惯量可用积分计算. 质点组的转动惯量等于各质点 和 A 与转动轴 l 的距离 r 的平方的乘积, 即 的转动惯量之和, 故连续体的转动 等于 A 的质量 m 设 在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元， 因此该物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 其体积记为 dV ，质量为 到 z 轴的距离为 从而 为空间物体 V 的密度函数，求 V 对 z 轴的转动惯量. 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 一般说来，若 V 中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l 的距离为 则转动惯量为 对坐标平面的转动惯量分别为 对 xy 平面的转动惯量 对 yz 平面的转动惯量 对 xz 平面的转动惯量 如果物体 D 是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 一般说来，若 D 中的点 ( x , y ) 到转动轴 l 的距离为 则转动惯量为 例4 求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面 中心轴的转动惯量 解 设圆环 D 为 密度为ρ，则 D 中任一点 ( x , y ) 与转轴的距离为 于是转动惯量 例. 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 设薄片的密度为ρ，则 例6. 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量 解 建立坐标系如图, 设球体为 密度为 k 为比例常数. 切平面方程为 z = R , 则球体对于该切平面的转动惯量为