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§1 解题示例 例18-1 在瓷碟上面一朵白花和一片黑叶，白花和黑叶面积相等。（1）在阳光下，哪一个吸收可见光多？为什么黑叶没有白花亮？（2）如果瓷碟放在黑暗处，黑叶并不发光，为什么说它辐射的多呢？（3）如把瓷碟加热到能发出光时，再拿到黑暗中，问哪一个较亮？ 解 （1）在阳光下，白花反射可见光多，而吸收得少，因此看来是白色的；黑叶吸收多而反射少，所以黑叶没有白花亮。不要把反射和辐射能量混淆起来。 （2）放在黑暗处，黑叶辐射比白花多。但因瓷碟本身的温度低，辐射总能量少，尤其对于可见光区域则更少。温度较低时，相当于最大辐出度的峰值波长在红外部分。要分清辐射能量多并不一定等于辐射可见光的能量多，当然也就不一定能看见。 （3）在较高温度时，黑叶辐射可见光多于白花，因而将看到叶比花亮。 例18-2 设某黑体的表面温度为6000K，此时辐射最强的波长，试问： （1）为了使增加，该黑体温度需改变多少？ （2）当增加时，单位时间总辐射能的改变与原辐射能之比为若干？ 解 （1）要使黑体辐射最强的波长向长波方向移动，必须使黑体的温度降低。设表示原来温度，表示降低后的温度，则根据维恩位移定律 有 故 （3）设黑体表面积为，根据斯特藩——玻耳兹曼定律，黑体降温前单位时间总辐射能，降温后单位时间总辐射能，故 例18-3 一弹簧振子，质量，倔强系数，这个系统以振幅来回振动。若此系统的能量是依普朗克量子化条件的，问量子数n有多大？若n改变一个单位，则能量改变的百分比有多大？ 解 弹簧振子的固有频率是 振动系统的能量为 按普朗克假设，振子的最小能量单位是 所以弹簧振子的总量子数为 这是一非常大的数字，当n改变1时，能量变化的百分比为 ＜ 由此可见，对宏观振子来说，量子数n甚大，因而振动能量的分立特性不明显，无怪乎在宏观范围内，人们有能量是连续变化的传统概念。 例18-4 的伦琴射线在碳块上散射，在散射角的方向去看这散射光。（1）康普顿位移量有多大？（2）康普顿效应产生的频率改变量有多大？（3）分配给这个反冲电子的动能有多大？ 解 （1）据康普顿散射波长公式，取，得波长改变量 （2）频率改变量可按来计算： （3）当伦琴光子和散射物质中自由电子作用时，能量应守恒，即入射光子能量加静止电子能量应等于散射光子能量加反冲电子能量。而据相对论原理，即反冲电子的动能，所以动能为 入射光子能量为，反冲电子动能为，故在碰撞中光子能量损失大约。 例18-5 氢原子处于电离能为0.85eV的一个定态中，它由这一定态跃迁到激发能为10.2eV的另一定态。 （1）试求氢原子跃迁时发射光子的能量； （2）试把这种跃迁表示在氢的能级图上，并标明适当的量子数。 解 （1）求解本问题时，必须弄清电离能和激发能的概念。所谓电离能，就是把原子中处于某定态（）的电子移到无穷远（）所需的能量，即 所以氢原子处于题设的第一个定态时的能量为 而激发能为原子从基态（）跃到某激发态（）所需的能量，即 故氢原子在题设的第二定态时的能量为 根据玻尔频率定则，氢原子从第一个定态跃迁到第二个定态时，发射光子的能量为 （2）由氢原子的能量公式，容易求出各定态相应的量子数，因 图 18-1故。 图 18-1 将和的值代入上式，得相应的量子数 氢原子的这种跃迁如图18-1所示。 例18-6 分别计算电子通过电势差和的德布罗意波长，设电子的初速度为零。 解 （1）计算粒子的德布罗意波长时，首先须判断粒子的属性，然后选用适当的公式，按题设，电子的动能，电子的静止能量。可知＜＜ ，故此电子为经典性粒子，其德布罗意波长可按下式计算。 （2）加速电势差时，电子的动能，这时～，此电子属子相对论性粒子，应由式来计算波长。因本题不直接知道粒子的速度，所以拟导出一个用粒子动能表示的波长公式。 应用相对论动量和能量的关系式以及质能公式 解出粒子的动量 因此，粒子的德布罗意波长为 有的读者先用算出粒子的频率，然后利用式 计算德布罗意波长。这种作法是错误的，因上式中的速度应为德布罗意波的相速，而不是粒子的运动速度。读者只要比较式和式便知，，可见相速。