计算方法期末试题.docVIP

课程《计算方法》 判断题（每题2分，共10分） （ √ ）1．浮点数构成有限集合; （ √ ）2．当一个矩阵的条件数较大，则该矩阵为病态矩阵; （ X ）3．高次的Lagrange插值多项式很常用; （ X ）4．梯形求积公式的代数精度为2; （ √ ）5．Newton法有可能不收敛; 填空题（每题2分，共10分） 1．当浮点数集中的基数=2，尾数位数，阶码时，则该浮点数集中共有 28 个正数; 2．已知，用拉格朗日插值法计算的表达式为：; 3．已知在的值分别为,若用二次插值多项式计算，则其误差估计为：; 4．设向量，则; 5．用复化梯形求积公式求的近似值，要将区间分成 3 等分，才能保证误差不超过0.01; 三、计算题（每题10分，共30分） 1．给定数据表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 试求三次牛顿插值函数。 解：先构造牛顿插值差分表， >> x=1:4; y=[1 0 1 2]; >> n=length(x); >> D=zeros(n); >> D(:,1)=y'; >> for j=2:n for i=j:n D(i,j)=(D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end >> D D = 1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 0 2.0000 1.0000 0 -0.3333 故所求三次牛顿插值函数为： 2．用最小二乘法求形如（为常数）的经验公式，使它与下表数据相拟合： 0 1 2 3 1．010 0．3333 0．2000 0．1429 解：为求出待定系数将函数变形为： 令，则所求函数变形为线性函数： （3分） 由最小二乘法原理，可得正规方程组： （2分） 利用MATLAB的polyfit(x,1./y,1)命令可得： 故所求拟合函数为： （5分） 3．已知一组实验数据如下表： 1 3 5 7 9 11 0.7459 1.6601 3.6945 8.2223 18.2991 40.7254 试求该数据的拟合曲线。 解：>> x=1:2:11; >> y=[0.7459 1.6601 3.6945 8.2223 18.2991 40.7254]; >> plot(x,y,'+') %从散点图中可以看出数据大致分布呈“指数型”: （4分） >> subplot(2,2,1) >> plot(log(x),y,'+') >> subplot(2,2,2) >> plot(x,log(y),'+') >> subplot(2,2,3) >> plot(log(x),log(y),'+') >> polyfit(x,log(y),1) （3分） ans = 0.4000 -0.6931 故 exp(-0.6931)=0.5 因此拟合函数为 （3分） 四、计算题（每题10分，共20分） 1．用列主元素消去法解方程组; 解：该方程组的增广矩阵为： （6分） 故x3=7.5/2.5=3，x2=(8-2x3)=2, x1=-(13-4x2-x3)/2=1 （4分） 2．用迭代法解方程组（小数点后保留四位小数）; 解：雅可比迭代法的迭代公式为： （4分） 利用MATLAB求解如下： >> x1(1)=1;x2(1)=1;x3(1)=1; >> for i=1:20 x1(i+1)=1/5*(-12-2*x2(i)-x3(i)); x2(i+1)=1/4*(20+x1(i)-2*x3(i)); x3(i+1)=1/