高中数学：五对称性周期性教师.docx

长沙市麓山滨江实验学校高一数学因为努力，所以优秀！

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专题五函数的周期性、对称性

技巧一.函数周期的常见结论

1.若fx+a=f(x?a)，则函数的周期为

2.若fx+a=?f(x)，则函数的周期为2

3.若fx+a=1f(x)

4.若fx+a=?1

技巧二.对称轴常见类型

1.fx+a=f(a?x)?

2.fx=f(2a?x)?y

3.f?x=f(2a+x)?y

4.fx+a=f(b?x)?

技巧三.对称中心常见类型

1.fx+a+fa?x

2.fx+f2a?x

3.f?x+f2a+x

4.fx+a+fb?x=2c

技巧四.周期与对称性的区分

1.若fx+a=±fx+b

2.若fx+a=±f(b?x),则具有对称性。口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性

技巧五.双对称得周期

1.若函数fx关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数fx的周期为2|b－

2.若函数fx关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数fx的周期是2|b－

3.若函数fx关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数fx的周期是4|b－

4.若函数fx是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a

5.若函数fx是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a

题型提分练：

2.（多选）若定义在R上的函数fx分别满足下列条件，其中可以得出f

A．fx=fx?2

C．f?x=fx+2

【详解】对于A，fx=fx?2

对于B，由fx+2=fx?2得f

对于C，由f?x=fx+2得f

对于D，fx?1=fx+1

故选：AD

1.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=?1f(x)，若f(2)=1

A．?12 B．12 C．

【详解】∵f(x+2)=?

∴f(2020)=f(4)=?

故选：C

已知定义在R上的奇函数fx满足fx+4=fx恒成立，且

【详解】因为fx

故f0=0，且

又fx+4=fx

且fx+4

当x=?2时，f2=?f2，故2f

f?x=?fx种，当x=1

又fx+4=fx

故f2

定义在R上的函数fx为奇函数，f1=1，又g

【详解】因为fx为奇函数，所以f

因为gx=fx+2

所以f?x?2+2

所以f?x+4=f?x，所以f

所以fx

因为f1=1，所以

设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f?x，若

A．?53 B．?13 C．

【详解】因为fx是定义域为R

所以由f1+x

函数该函数的周期为2，

f13

已知定义在R上的函数fx在?∞,1上单调递增，若函数fx+1为偶函数，且

【详解】因为函数fx的定义域为R，且函数fx+1为偶函数，则

所以，函数fx的图象关于直线x=1

因为f3=0，则

因为函数fx在?∞,1上单调递增，则函数f

当x≤1时，由fx0=f?1

当x1时，由fx0=f3

综上所述，不等式fx0的解集为?1,3.故答案为：

已知定义在R上的函数f(x)在2，+∞上单调递减，且满足f(x+2)=f(?x+2)

A．(?∞,23)∪(2,+∞) B．

【详解】定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(?x+2)，则函数图象关于直线x=2对称；

又f(x)在2，+∞上单调递减，则f(x)

则由不等式f(x+2)f(2x)可得|2?(x+2)||2?2x|，即|x|2|1?x|，

即x24(1?x)2，解得

即f(x+2)f(2x)的解集为(?∞

设f(x)是定义在R上的奇函数，且f12?x

【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f1

所以f12?x=?fx?

由f(x)是定义在R上的奇函数知，f(0)=0，

在f12?x=f1

又f(2)=f(0)=0，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2f(1)+f(2)

已知函数fx+1是偶函数，当1x1x2时，fx

A．cba B．bac C．bca D．abc

【详解】∵当1x1

∴当1x1x2

∴函数fx在(1,+

∵函数f(x+1)是偶函数，即f1+x

∴函数fx的图象关于直线x=1对称，∴a=f

又函数fx在(1,+∞)

即f(2)f?12

已知x=1是定义在R上的函数y=fx的对称轴，当x≥1时，fx

【详解】由x=1是定义在R上的函数y=fx的对称轴，则f

又当x≥1时，f

则当x1时，即2?x1，则f

所以fx的解析式是fx=

已知fx是定义在R上的函数，且对于任意实数x恒有fx+2=?fx．当

A．fx

B．fx在x∈2,4

C．fx的值域为

D．f

【详解】根据题意，x∈?2,0时，x+2∈0,2，因为x∈0,2

所以