高中数学：新高考模式下的全国卷导数命题特点及备考建议.docx

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新高考模式下的全国卷”函数与导数”部分命题特点及备考策略

长沙市明德中学高三数学备课组谢卫平

函数是描述现实世界变化规律的重要的数学模型，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。导数是解决函数问题的一把利器，为研究函数的单调性、最大值和最小值提供了有力方法。高考中导数问题具有思想丰富、应用广泛、变化灵活、知识综合、对能力要求高等特点。高考中对导数部分的考查历来置于极为重要的地位，难度大，区分度最明显。

一、考情分析

1、考试要求解读

内容

教学大纲要求

考情分析

解读

(1)导数概念及其几何意义

①了解导数概念的实际背景.

②理解导数的几何意义.

鲜见单独以①为知识背景的试题；以②为知识背景的主要是选择题、填空题或解答题的某个环节，主要形式为求过某点的切线的方程.

本考点选择题、填空题、解答题均可出现，但以解答题为主.最后的一道解答题(压轴题)全部植根于此考点,有较大的难度.虽然解答题主要为导数在研究函数中的应用(求单调区间、极值、最值等),但一般均联系到导数的运算、导数的几何意义等内容,且常和证明不等式或求含参数的不等式在某种条件下参数的取值范围.

(2)导数的运算

①能根据导数定义求常见的几种函数的导数.

②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.

鲜见单独以①或②为知识背景的试题.但在用导数研究函数的过程中首要的步骤就是求函数的导数，因而对②理解和掌握十分重要.

(3)导数在研究函数中的应用

①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

此处历年考,且常和其它知识有机整合.此题属于压轴题,解题过程中往往要先构造函数,再运用导数法探究函数的单调性、极值或最值，常有较大难度.

(4)生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

在其他模块中呈现的最值问题。如2022年第8题球中的内接四棱锥体积最大值.

2、近三年（2020~2022）全国新高考1卷高考理科数学中”函数与导数”内容分布、分值统计表

年号

题号

分值

重点考察的知识点及知识点交汇情况

函数模型

2020

6

5

函数的实际应用流行病感染病例数I(t)

I(t)＝er

8

5

抽象函数的奇偶性、单调性与图形

抽象函数

12

5

信息题：信息熵

H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi.

21

12

切线，不等式恒成立问题

f(x)＝aex－1－lnx＋lna

2021

7

5

切线问题

15

5

函数的最值

21

12

函数单调性、不等式证明、极值点偏移

2022

7

5

比较实数大小

8

5

函数的应用：立体几何中的最值

11

5

三次函数的性质：极值，零点，切线

12

5

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数

15

5

切线问题

21

12

函数最值，函数零点，同构问题

和

二、新课程背景下全国新高考一卷高考《函数导数》命题特点与趋势展望

（一）突出基础知识的主体地位，强调知识之间的交叉、渗透和综合。

一方面，注重基础知识，突出主干内容，这是高考数学命题的一个稳定的思路。考纲中指出“强化主干知识，从学科整体意义上设计试题，是落实课程目标‘知识与技能’的一项重要措施．”函数的单调性、极值、最值、零点，不等式的证明与恒成立问题等主体知识依然常考常热，导数作为研究函数的重要工具依然是解决函数综合问题的重要手段。

另一方面，由于函数作为代数知识的一条主线，其观点与方法贯穿高中代数的全过程。因此在对函数的考查中特别强调知识之间的交叉、渗透和综合，将有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，这有利于考查考生的思维过程和思维能力。

1.导数的运算、切线问题

导数的计算极少单独命题.但在运用导数研究函数的过程中，求导数是首要的步骤,因而理解和掌握求导数的基本方法并能灵活运用,十分重要.切线斜率就是函数在切点处的导数，倾斜角的正切值就是斜率.这就是导数的几何意义.高考中常见以导数的几何意义立意的试题,须引起高度重视.

例1(1)(2022全国新高考1卷)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,故答案为：

(2)(2021全国新高考1卷T7)若过点可以作曲线的两条切线，则

A． B． C． D