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微专题10——函数与导数(一)
1．已知定义在上的函数满足已知定义：①函数的图像关于，对称；②对任意的，都有成立；③当，时，，则_________.
2．已知函数的图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为___________．
3．已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______．
4．已知函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．
作业训练姓名：班级：
1．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2．等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前26项和．
3．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
4．已知点A，B在椭圆上，点A在第一象限，O为坐标原点，且.（1）若，直线的方程为，求直线的斜率；
（2）若是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)，求的最大值.
微专题10——函数与导数(一)答案
一、填空题
1．已知定义在上的函数满足已知定义：①函数的图像关于，对称；②对任意的，都有成立；③当，时，，则___________.
【答案】
解：由①得的图象关于点对称，为奇函数，
由②得的图象关于对称，且有，
可得，所以的周期为4，
则，由③得，
因此．故答案为：．
2．已知函数的图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
因为，，
所以，，
分别设函数、上的切点分别为、，
要使得，则，
所以，
又因为，
所以，
又因为，使得等式成立，
所以
所以，所以实数a的取值范围为．故答案为：．
3．已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
解法一：当时，，对任意的实数，原不等式恒成立，
当时，，当时，，令，则，且当时，，当时，，所以即解得．综上，实数的取值范围为．
解法二易知，所以不等式，
即．
当时，，，，所以，即，又，所以；当时，，对任意的实数，原不等式恒成立；当时，，，，所以，即，又，所以．综上，实数的取值范围为．
故答案为：
二、解答题
4．已知函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
解当时，，，
，，
切线方程为：，
整理得：．
．
在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
当时，函数在上单调递增．
函数在上的最大值是，
由题意得，解得：，
，此时a的值不存在；
当时，，此时在上递增，在上递减．
函数在上的最大值是，
由题意得，解得：．
综上，a的取值范围是．
备选5．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：不等式成立.
【详解】
（1）当时，，
，
所以在区间上，递减，在区间上，递增.
所以在处取得极小值，没有极大值.
（2）要证时，不等式成立，
即证成立，
即证成立.
构造函数，
，
由于开口向下，对称轴为，过点，
所以存在零点，且.
，
所以在区间上，递增，在区间上，递减.
所以当时，取得极大值也即是最大值为：
，
，
所以在区间上递减，
当时，，
所以，
即成立.
作业训练
1．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
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