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第一篇热点、难点突破篇
专题02导数的基本应用(练)
一、单选题
(2019·全国高考真题(文))
1.曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判定点是否为切点,再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时,,即点在曲线上.则在点处的切线方程为,即.故选C.
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取导数法,利用函数与方程思想解题.学生易在非切点处直接求导数而出错,首先证明已知点是否为切点,若是切点,可以直接利用导数求解;若不是切点,设出切点,再求导,然后列出切线方程.
(2020·全国高二单元测试)
2.已知函数,则的大小关系是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断的奇偶性,利用导数判断上的单调性,根据单调性以及奇偶性比较大小即可.
【详解】易知为偶函数
∴
∵,当时,,∴在上为增函数
∴
∴
故选:A
(2020·全国高考真题(理))
3.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为()
A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为,则,
函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,
由于直线与圆相切,则,
两边平方并整理得,解得,(舍),
则直线的方程为,即.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.
(2021·陕西西安市·长安一中高二期末(理))
4.已知函数的导函数是,的图象如图所示,下列说法正确的是()
A.函数在上单调递减
B.函数在处取得极大值
C.函数在上单调递减
D.函数共有个极值点
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用导函数的图象的正负情况,判断函数的单调性即可.
【详解】由函数的导函数的图象,
可得,,,,
所以函数在,上单调递减,在,上单调递增.
所以函数在和处取得极小值,在处取得极大值,
结合选项可知,只有选项C正确.
故选:C.
【点睛】(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
(2021·四川省资中县第二中学高三月考(理))
5.已知函数满足,且当时,成立,若,,,则,,的大小关系是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数,利用奇函数的定义得函数是偶函数,再利用导数研究函数的单调性,结合,再利用单调性比较大小得结论.
【详解】解:因为函数满足,即,且在上是连续函数,所以函数是奇函数,
不妨令,则,所以是偶函数,
则,因为当时,成立,
所以在上单调递减,
又因为在上是连续函数,且是偶函数,所以在上单调递增,
则,,,
因为,,,
所以,所以,
故选:D.
(2021·内蒙古呼和浩特·高三月考(文))
6.若存在两个不相等的正实数,,使得成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先将问题转化为斜率的问题,然后结合临界条件即可求得实数的取值范围.
【详解】解:由题意可得,则表示点与点连线的斜率,其中,,,
即表示函数的图像在轴右侧任意两点连线的斜率,
的图像大致为:
由函数的解析式可得:,
故函数在y轴右侧时,在处切线的斜率取得最小值,为,
为了满足题意,可知,则的取值范围是.
故选:D.
(2021·江苏海安·高三期中)
7.已知设其中为自然对数的底数,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将原不等式移项合并,利用放缩法判断的大小关系;构造函数利用导数法求出最大值,确定最大值与的大小关系即可判断.
【详解】
,,
令,则,
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
时取,,,,,
又,
而,,.
综上所述:
故选:B
(2021·四川·东辰国际学校三模(文))
8.设,若存在正实数,使得不等式成立,则的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得,可令,则成立,由和互为反函数,可得图象关于直线对称,可得有解,通过取对数和构造函数法,求得导数,单调性和最值,即可得到的最大值.
【详解】不等式,
即为,
即有,
可令,
则成立,
由和互为反函数,可得图象关于直线对称,
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