高中数学:专题02导数的基本应用讲.docx

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第一篇热点?难点突破篇

专题02导数的基本应用(讲)

讲高考

一?经典真题

(2021·全国·高考真题(理))

1.设,若为函数的极大值点,则()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项.

【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.

有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.

当时,由,,画出的图象如下图所示:

由图可知,,故.

当时,由时,,画出的图象如下图所示:

由图可知,,故.

综上所述,成立.

故选:D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

(2021·全国·高考真题(理))

2.设,,.则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定,对于a与c,b与c的大小关系,将0.01换成x,分别构造函数,,利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性,结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小关系.

【详解】,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,,

由于

所以当0x2时,,即,,

所以在上单调递增,

所以,即,即;

令,则,,

由于,在x0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即bc;

综上,,

故选:B.

【点睛】本题考查比较大小问题,难度较大,关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小,这样的问题,凭借近似估计计算往往是无法解决的.

(2020·全国高考真题(理))

3.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为()

A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.

【详解】设直线在曲线上的切点为,则,

函数的导数为,则直线的斜率,

设直线的方程为,即,

由于直线与圆相切,则,

两边平方并整理得,解得,(舍),

则直线的方程为,即.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.

(2019·北京高考真题(理))

4.设函数f(x)=ex+ae?x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.

【答案】①.-1;②..

【解析】

【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式,据此可得的值,然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数为奇函数,则,

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查.

(2021·全国·高考真题(文))

5.设函数,其中.

(1)讨论的单调性;

(2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.

【答案】(1)的减区间为,增区间为;(2).

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)根据及(1)的单调性性可得,从而可求a的取值范围.

【详解】(1)函数的定义域为,

又,

因为,故,

当时,;当时,;

所以的减区间为,增区间为.

(2)因为且的图与轴没有公共点,

所以的图象在轴的上方,

由(1)中函数的单调性可得,

故即.

【点睛】方法点睛:不等式的恒成立问题,往往可转化为函数的最值的符号来讨论,也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题,转化中注意等价转化.

二?考向预测

(一)导数问题考向预测

1.与基本初等函数图象相结合考查导数的计算,凸显直观想象?数学运算的核心素养.

2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义,凸显数学运算?直观想象的核心素养.

3.利用导数研究函数的性质?证明不等式?研究函数零点,凸显数学运算?直观想象?逻辑推理的核心素养.

4.利用导数解决生活中最优化问题,凸显数学运算?数学建模的核心素养.

5.高考对本部分的要求一般有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间?极值?最值等;第三层次是综合考查,如研究函数零点?证明不等式?恒成立问题?求参数等,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式?数列及函数单调

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