高中数学：专题02导数的基本应用讲.docx

第一篇热点?难点突破篇

专题02导数的基本应用（讲）

讲高考

一?经典真题

（2021·全国·高考真题（理））

1.设，若为函数的极大值点，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

（2021·全国·高考真题（理））

2.设，，．则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0x2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即bc;

综上，,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

（2020·全国高考真题（理））

3.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）

A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

（2019·北京高考真题（理））

4.设函数f（x）=ex+ae?x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】①.-1;②..

【解析】

【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数为奇函数,则，

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查.

（2021·全国·高考真题（文））

5.设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

二?考向预测

（一）导数问题考向预测

1.与基本初等函数图象相结合考查导数的计算，凸显直观想象?数学运算的核心素养.

2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算?直观想象的核心素养.

3.利用导数研究函数的性质?证明不等式?研究函数零点，凸显数学运算?直观想象?逻辑推理的核心素养.

4.利用导数解决生活中最优化问题，凸显数学运算?数学建模的核心素养.

5.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间?极值?最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点?证明不等式?恒成立问题?求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式?数列及函数单调